第1章信号与系统的概述。
1.6本章习题全解。
1.1已知信号波形，写出信号表达式。
ab)解：（a）
b）1.2已知信号的数学表达式，求信号波形。
解：（1）信号区间在[1，2]之间，振荡频率为，周期为1，幅值按趋势衰减，波形如图1-2-1；
2）信号区间在[-1，1]之间，在[-1，0]区间呈上升趋势，在[0，1]区间呈下降趋势，波形如图1-2-2；
图1-2-1图1-2-2
3）信号为正弦信号经时移的叠加而成，由于每次时移间隔为半个周期，所以偶次时移与奇次时移的结果相抵消，结果如图1-2-3；
4）结果如图1-2-4
图1-2-3图1-2-4
5）结果如图1-2-5
图1-2-5
6）结果如图1-2-6
图1-2-6
1.3分别求下列各周期信号的周期。
3) (为正整数，t为周期)
解：（1）当满足（k为整数）时，
即k=1时，为的周期，同理，的周期为；
所以的周期为。
当满足（k为整数）时，，即，即k=1时，为的周期。
3）根据表达式，可画出信号的波形为。
从图中可以看出周期为2t。
1.4求下列表示式的函数值。
7) 已知求。解：（1）
上式中为偶函数，为奇函数。
1.5已知信号的波形如下图1.5所示，试画出下列各信号的波形。
题图1-5解：（1）先将在横坐标轴上向右平衡3，再进行压缩，得波形如图1-5-1；
图1-5-1
2）过程及结果如图1-5-2所示；
图1-5-2
3）过程及结果如图1-5-3所示；
图1-5-3
1.6已知的波形如图1-6所示，试画出的波形。
题图1-6解：本题有两种求解方式：
解法一：（1）将信号以纵坐标为轴翻褶，得波形。
2）将的波形在横坐标上扩伸2倍，得波形。
3）将的波形向右移动5，得的波形。
图1-6-1
解法二：（1）将信号以波形向右移动5/2，得波形。
2）将波形的在横坐标上扩伸2倍，得波形。
3）将的波形以纵坐标为轴翻褶，得的波形；
图1-6-2
1.7求下列函数的微分和积分。
解：（1）
1.8试证明：
证明：1.9粗略画出题图1.7所示各波形的奇、偶分量。
题图1.7解：（1）根据信号的奇、偶分量的定义，现求出。
图1-9-1
图1-9-2
1.10试证明因果信号的奇分量和偶分量之间存在关系式。
证明：因为为因果信号。
所以， 所以，
所以，证毕。
1.11分别求出下列各波形的直流分量。
1) 全波整流；
2) 升余弦函数。
解： 求解信号波形的直流分量，实际上即为求解信号的平均值，对于周期信号，只需求一个周期内的平均值即可。
1）的周期为，所以其直流分量为：
（2）因为在一个周期内均值为0，所以。
1.12画出下列系统的框图。
解：（1）系统方程两边同除以2，得。
图1-13-1
图1-13-2
1.13判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果性。
解： （1）
即系统非线性。
即系统为时变系统。
由于任意时刻的输出只与时刻的输入有关，而与时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。
所以，该系统是非线性、时变、因果系统。
即系统线性。
即系统为时变系统。
由于任意时刻的输出只与时刻的输入有关，而与时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。
所以，该系统是线性、时变、因果系统。
即系统线性。
即系统为时不变系统。
由于任意时刻的输出只与时刻的输入的微分有关，而与时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。
所以，该系统是线性、时不变、因果系统。
即系统非线性。
即系统为时不变系统。
由于任意时刻的输出只与时刻输入的平方有关，而与时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。
所以，该系统是非线性、时不变、因果系统。
即系统线性。
即系统为时变系统。
当时，，，说明系统在的输出与时刻以后的输入有关，所以系统为非因果系统。
所以，该系统是线性、时变、非因果系统。
即系统线性。
即系统为时不变系统。
系统在的输出与时刻和时刻的输入有关，所以系统为非因果系统。
所以，该系统是线性、时不变、非因果系统。
即系统非线性。
即系统为时不变系统。
系统在的输出只与时刻的输入有关，与时刻以后的输入无关，所以系统为因果系统。
所以，该系统是非线性、时不变、因果系统。
即系统线性。
即系统为时变系统。
系统在的输出只与时刻的输入有关，与时刻以后的输入无关，所以系统为因果系统。
所以，该系统是线性、时变、因果系统。
1.14 将以下信号分类为功率信号、能量信号，或者两者都不是。在可能的情况下，求出信号的功率和能量。
解：(1)
所以为能量有限信号，信号的能量为1/4。
2) 该信号为有限区间信号，所以为能量信号。
根据题（1）的求解可得，e=1,所以信号为能量有限信号。
采用分布积分可得。
所以，信号为能量有限信号。
所以信号为能量有限信号。
所以不是能量有限信号。
所以该信号为功率有限信号，功率为1
1.15判断下列系统是否是可逆的。若可逆，则给出它的可逆系统；若不可逆，指出使系统产生相同输出的两个输入信号。
解：对不同的激励信号能产生不同响应的系统是可逆的。
1）该系统可逆，其逆系统为。
2）当激励信号为常数时，输出均为0。即不同的激励产生相同响应，所以系统不可逆。
3）该系统可逆，
4）该系统可逆，
1.16 有一线性时不变系统，初始时刻系统无储能，当激励为时，响应为。
试求当激励为时，系统的响应。
解： 第2章线性时不变连续系统的时域分析。
2.6本章习题全解。
2.1如题图2-1所示机械位移系统，质量为的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上，弹簧的刚度系数为。刚体与地面间的摩擦系数为，外加牵引力为，求外加牵引力与刚体运动速度间的关系。
题图2-1解：由机械系统元件特性，拉力与位移成正比，即。
又。所以，
刚体在光滑表面滑动，摩擦力与速度成正比，即。
根据牛顿第二定律以及整个系统力平衡的达朗贝尔原理，可得。
整理得。2.2题图2-2所示电路，输入激励是电流源，试列出电流及上电压为输出响应变量的方程式。
题图2-2解：由电路的基尔霍夫电流定律可得： （1）
根据电容特性， （2）
由电路的基尔霍夫电压定律可得： （3）
将代入（2）得。
代入（4）得，整理得， （5）
将，即代入（5）得。
整理得， 2.3某连续系统的输入输出方程为
已知，,，试计算和值。
解：将输入代入系统方程可得。
采用冲激函数匹配法求和。
方程右端的冲激函数项最高阶数为，设。
则有：，将其代入原系方程，得。
所以。2.4 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程如下， ，试求其完全响应。
解：（1）求齐次解。
特征方程为：
特征根为：
所以， 2）求特解。
3）全响应。
将代入系统方程得。
将初始条件代入。
得： 所以全响应为：
2.5 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为。
当激励为时，系统的完全响应为，。试求其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。
解：由全响应得初始条件，
1）求零输入响应。
特征方程为，特征根为，
所以。代入初始条件，，解得，
所以， 2）求零状态响应。
2.6 已知某线性时不变系统的方程式为。
试求系统的冲激响应h(t)。
解：方程右端的冲激函数项最高阶数为，设。
则有：，将其代入原系方程，得。
2.7若描述系统的微分方程为。
试求系统的阶跃响应。
解：由题可知：
阶跃响应：2.8已知某线性时不变(lti)系统如题图2.8所示。已知图中，，,试求该系统的冲激响应。
题图2.8解：利用系统串联与系统并联的冲激响应求解。
2.9 设系统的微分方程表示为，求使完全响应为时的系统起始状态和，并确定常数。
解：引入微分算子，则原微分方程可变换为：
又由原微分方程知特征根为：
所以： 2.10 已知某连续系统的微分方程为
若系统的初始条件和，输入信号，求系统的零输入响应，零状态响应和完全响应。
1）零输入响应满足方程。
其值。方程特征根，，故零输入响应。
将初始值代入上式及其导数，得。
由上式解得，，所以。
2）零状态响应是初始状态为零，且时，原微分方程的解，即满足方程。
即。及初始状态。先求和，由于上式等号右端含有，令。
积分(从到)得。
将、和代入微分方程可求得。对以上三式等号两端从到积分，并考虑到，，可求得。
解上式，得，。
对于，微分方程可写为。
不难求得其齐次解为，其特解为。于是有。
将初始值代入上式及其导数，得。
由上式可求得，，所以系统的零状态响应为。
3）全响应。
2.11已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为时，其全响应为 ；
当激励为时，其全响应为
求：(1)初始条件不变，当激励为时的全响应，为大于零的实常数。
(2)初始条件增大1倍，当激励为时的全响应。
解：系统的全响应是由零输入响应和零状态响应组成的，零输入响应与系统的状态呈线性关系，零状态响应与系统的输入呈线性时不变关系。
设 （1）则根据零状态响应线性可得。
联立（1）、（2）得。
1）初始条件不变，激励为时，则。
2）初始条件增大1倍，当激励为时。
2.12 求下列各函数和的卷积。
1） 和 2） 和
3） 和 4） 和
5） 和 6）,解：（1）
当即时，当即时，故有。
2.13已知某线性时不变系统数学模型为。
信号与系统答案
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