数字信号处理习题解答。
第二章数据采集技术基础。
2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率ωs=6π，采样后经理想低通滤波器ha(jω)还原，其中。
现有两个输入，x1(t)=cos2πt，x2(t)=cos5πt。试问输出信号y1(t)，y2(t)有无失真？为什么？
分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率ωs必须大于等于信号谱最高角频率ωh的2倍，即满足ωs≥2ωh。
解：已知采样角频率ωs=6π，则由香农采样定理，可得。
因为x1(t)=cos2πt，而频谱中最高角频率，所以y1(t)无失真；
因为x2(t)=cos5πt，而频谱中最高角频率，所以y2(t)失真。
2.2 设模拟信号x(t)=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt，求：
1） 该信号的最小采样频率；
2） 若采样频率fs=5000hz，其采样后的输出信号；
分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。
采样定理。采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率fs不小于其最高频率fm的两倍，即。
fs≥2fm
采样公式。解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是。
f1=1000hz，f2=3000hz，f3=6000hz
信号的最高频率fm=6000hz
由采样定理fs≥2fm，得信号的最小采样频率fs=2fm =12khz
2）由于采样频率fs=5khz，则采样后的输出信号。
说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1khz和2khz的频率成分，即。
若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号。
可见，恢复后的模拟信号y(t) 不同于原模拟信号x(t)，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果。
第三章傅里叶分析。
i. 傅里叶变换概述。
3.1 [习题3.2]设序列x(n)=δn-m)，求其频谱x(ejω)，并讨论其幅频和相频响应。
分析：求解序列的频谱有两种方法：
先求序列的z变换x(z)，再求频谱，即x(ejω)为单位圆上的z变换；
直接求序列的傅里叶变换。
解：对序列x(n)先进行z变换，再求频谱，得。
则。若系统的单位采样响应h(n)=x(n)，则系统的频率响应。
故其幅频和相频响应（如图）分别为。
幅频响应 相频响应
由图可见，该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点。
3.2 设x(n)的傅里叶变换为x(ejω)，试利用x(ejω)表示下列序列的傅里叶变换：
分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即。
解：（1）由于，，则。
故。2）由于。
故。3.3 设x(ejω)是如图所示的信号x(n)的傅里叶变换，不必求出x(ejω)，试完成下列计算：
分析：利用序列傅里叶变换的定义以及帕塞瓦定理来求解。
1） 序列的傅里叶变换公式为：
正变换 反变换
2） 帕塞瓦定理。
解：（1）由傅里叶正变换公式可知ω=0，则。
2）由于ej0=1，则由傅里叶反变换公式可知n=0，故。
3） 由帕塞瓦定理，得。
ii. 周期序列的离散傅里叶级数（dfs）
3.4 如图所示，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。
分析：利用dfs的定义求解，即。
其中k = 0 ~ n-1)
解：已知n = 6，则由dfs的定义得。
对上式依次取k = 0 ~ 5，计算求得。
3.5 设，
令，，试求与的周期卷积。
分析：可以利用列表法求解，直观方便。由于。
只要将列表中对应于某个n的一行中的值和第一行中与之对应的值相乘，然后再将所有乘积结果相加，就得到此n的值。
解：注意：本题需要利用下一节中有限序列与周期序列的关系以及序列循环移位的概念。
在一个周期（n=6）内的计算卷积值。
则与的周期卷积值（n=0~5）如下表所示：
iii. 离散傅里叶变换（dft）
3.6 已知x(n)如图所示，为，试画出序列x((-n))5，x((-n))6 r6(n)，x((n))3 r3(n)，x((n))6， x((n-3))5r5(n) 和x((n))7 r7(n)的略图。
分析：此题需注意周期延拓的数值，也就是x((n))n中n的数值。如果n比序列的点数多，则需补零；如果n比序列的点数少，则需将序列按n为周期进行周期延拓，造成混叠相加形成新的序列。
解：各序列的略图如图所示。
3.7 试求下列有限长序列的n点离散傅里叶变换（闭合形式表达式）：
分析：利用有限长序列的dft的定义，即。
解：（1）因为，所以。
2）因为，所以。
3）由，得。
注意：为了便于求解，必须利用代数简化法消除掉上式中的变量n。
所以。4）注意：本题可利用上题的结论来进行化简。
由，则。根据第（3）小题的结论：若。
则。与上题同理，得。
所以。3.8 试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积。
分析：本题可以直接利用循环卷积的公式求解，也可以利用循环移位的概念来求解，即：
有限长序列x(n)左移m（m为正整数）位的循环移位定义为。
且移位时，在主值区间（n=0~n-1）内，当某序列值从区间的一端移出时，与它同值的序列值又从区间的另一端移入。
解：由循环卷积的定义，可知。
则根据循环移位的概念，将序列x1(n)循环右移3个单位后乘以3并取其主值序列（n=0~5）即可，其结果如图所示。
3.9 如图所示的5点序列x(n)，试画出：
1） x(n)*x(n)
2） x(n) x(n)
3） x(n) x(n)
分析：本题可由**法来计算循环卷积，并利用循环卷积来求解线性卷积。同时应注意循环卷积代替线性卷积的条件：
设两个有限长序列x(n)、h(n)的点数分别为n和m，其循环卷积的长度为l，则要用循环卷积代替线性卷积的条件是：循环卷积的长度l必须不小于线性卷积的长度n+m-1，即。
l≥n+m-1
否则，在循环卷积周期延拓时会产生混叠。
解：由于x(n)是5点序列，所以x(n)* x(n)是5+5-1=9点序列，因此，x(n) x(n)的前9个点（n=0，1，…，8）就是x(n)* x(n)值，后一个点（n=9）为零，因为l点循环卷积等于线性卷积结果的l点周期延拓、混叠相加后的主值区间内的序列（l可以是任意整数值）。其运算结果分别如图（a）、（b）、（c）所示。
3.10 已知两个有限长序列为。
试作图表示x(n)，y(n)以及f(n) =x(n) y(n)。
分析：直接利用循环卷积公式或**法求解。
解：其结果如图所示。
3.11 [习题3.10]已知x(n)是n点有限长序列，且x(k) =dft[x(n)]。现将它补零扩展成长度为rn点的有限长序列y(n)，即。
试求rn点dft[y(n)]与x(k)的关系。
分析：利用dft定义求解。y(n)是rn点序列，因而结果相当于在频域序列进行插值。
解：由。可得。
所以在一个周期内，y(k)的采样点数是x(k)的r倍（y(k)的周期为rn），相当于在x(k)的每两个值之间插入r-1个其它的数值（不一定为零），而当k为r的整数l倍时，y(k)与相等。
3.12 [习题3.12]频谱分析的模拟信号以8khz被采样，计算了512个采样点的dft，试确定频谱采样之间的间隔，并证明你的回答。
分析：利用频域采样间隔f0和时域采样频率fs以及采样点数n的关系fs=n f0。
证：由。得。
其中ωs是以角频率为变量的频谱周期，ω0是频谱采样之间的频谱间隔。又。则。
对于本题有fs=8khz，n=512
所以 3.13 [习题3.20]设有一个频谱分析用的信号处理器，采样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力≤10hz，如果采用的采样时间间隔为0.
1ms，试确定：
1） 最小记录长度；
2） 所允许处理信号的最高频率；
3） 在一个记录中的最小点数。
分析：采样间隔t和采样频率fs满足fs=1/t，记录长度t0和频域分辨力f0的关系为t0=1/ f0，采样定理为fs≥2fh（fh为信号最高频率分量），一个记录中最少的采样总数n满足。
解：1）因为t0=1/ f0，而f0≤10hz，所以。
即最小记录长度为0.1s。
2）因为，而fs≥2fh
所以。即允许处理信号的最高频率为5khz。
又因n必须为2的整数幂。
所以一个记录中的最少点数为n=210=1024。
iv. 快速傅里叶变换（fft）
3.14 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘5μs，每次复加0.5μs，用它来计算512点的dft[x(n)]，问直接计算需要多少时间，用fft运算需要多少时间？
分析：直接利用dft计算：复乘次数为n 2，复加次数为n(n-1)；
利用fft计算：复乘次数为，复加次数为；
解：1）直接计算。
复乘所需时间。
复加所需时间。
所以。2）用fft计算。
复乘所需时间。
复加所需时间。
所以。3.15 已知x(k)，y(k)是两个n点实序列x(n)，y(n)的dft值，今需要从x(k)，y(k)求x(n)，y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个n点ifft运算一次完成。
分析：我们来组成一个新的序列x(k)+jy(k)序列，则有。
它的实部即为实序列x(n)，虚部即为实序列y(n)。
解：依据题意，可知。
取序列。对z(k)作n点ifft可得序列z(n)。
又根据dft线性性质。
由原题意可知，x(n)，y(n)都是实序列。
再根据z(n) =x(n)+j y(n)，可得。
3.16 [习题3.22, 3.
23]n=16时，画出基-2按时间抽取法（dit）及按频率抽取法（dif）的fft流图（时间抽取采用输入倒位序，输出自然数顺序，频率抽取采用输入自然顺序，输出倒位序）。
分析：dif法与dit法的异同：
不同点：dit与dif的基本蝶形图不同，dif的复数乘法出现在减法之后，dit的复数乘法出现在减法之前；
相同点：dit与dif的运算量是相同的；
dif法与dit法的关系：它们的基本蝶形是互为转置的。
解：1）按时间抽取（dit）如图所示。
2）按频率抽取（dif）如图所示。
3.17 [课堂思考题]若是因果稳定序列，求证：
证：设。则由时域卷积定理，得。
即。令上式的左右两边n=0，得。
又傅里叶反变换公式，得。
则。所以。3.18 [课堂思考题]在n=16时按时间抽取的基-2fft算法中，若输入序列x(n)采用倒位序，输出序列x(k)采用自然数顺序，试写出输入序列x(n)的排列顺序，并简述理由。
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