习题一。
1.1在例1.2中，设噪声均方差电压值为=2v，代价为=2， =1。信号存在的先验概率p=0.2。试确定贝叶斯意义下最佳门限，并计算出相应的平均风险。
解：由题意得q=0.8，p=0.2
根据例1.2推得的贝叶斯准则下门限（书1-15）
由（1-18），并将（1）代入得最佳门限。
由（1-19）（1-20a）（1-20b）（1-21）得平均风险。
1.2在例1.2中，如果不是进行一次观测，而是进行二次独立观察，得到和，并取为一给定常数。
试确定在平面上划分判决区域的曲线方程，确定对数据和应进行的最佳运算步骤，并计算虚警概率、漏报概率和平均风险。
解：此题为书中例1.4的特例n=2的情况。
由（1-43）得。
判为 （其中）
化简得到。判为1）
即曲线方程为。
似然函数为。
k=1，0）
虚警概率。漏报概率。
平均风险。其中为（1）式确定。
1.3只用一次观测x来对下面两个假设作选择，：样本x为零均值、方差的高斯变量，：样本x为零均值、方差的高斯变量，且》。
根据观测结果x，确定判决区域和。
画出似然比接收机框图。为真而选择了的概率如何？
解：（1）似然函数。
k=1，0）
似然比。判为。
化简得。） 判为。
得根据选取准则而定。
（2）框图。
为真而选择了的概率，即漏报概率为。
1.4设计一个似然比检验，对下面两个假设作选择。
1/2 （|x|1）
0 其他。假定=1，确定判决区域和。
应用纽曼-皮尔逊准则，并设，则判决区域如何？
解：（1）根据两种假设概率密度的图示可以看出，必然存在《且》
如果》=1/2，则对积分将大于1；如果<，则对积分将小于1，均不符合概率密度函数物理意义）
|x|1时似然比为。
判为。化简得。
判为。所以得判决区域为。
2）应用纽曼-皮尔逊准则。
所以得判决区域为。
1.7 根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假设做判断。
设n（t）为零均值和功率为的高斯过程，且。试求：
1） 判决门限。
2） 与相应的各假设先验概率。
解：因为采用极大极小化准则，所以要求。
将代入得：两边求微分得。
1/2 为判决门限。解得。
1.8 若上题假定=3， =6，则。
（1）每个假设的先验概率为何值时达到极大极小化风险？
（2）根据一次观测的判决区域如何？
解：与上题求解类似得。
1.9 设两种假设为：
其中n（t）为零均值和功率为2的高斯白噪声。根据m个独立样本（1，2，……m），应用纽曼-皮尔逊准则进行检验。令=0.05，试求：
1） 最佳判决门限；
2） 相应的检测概率。
解：由（1-43）得似然比。
将，n=m代入得。
化简得。服从均值为2（下）和0（下），方差为2/m的高斯分布。
从中解得。相应的。
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