卡尔曼滤波算法及其matlab实现。
学院：电控学院。
专业：检测技术与自动化装置姓名：付营飞学号：2012132025
授课教师：杨小军。
一、实验原理3
1、卡尔曼滤波器简介3
2、卡尔曼滤波器的递推公式3二、设计内容3三、matlab程序设计4四、图形结果7
卡尔曼滤波算法及其matlab实现。
一、原理介绍。
1、卡尔曼滤波器简介：（1）卡尔曼滤波是用状态空间法描述系统的，有状态方程和量测方程所组成。卡尔曼滤波用前一个状态的的估计值和最近一个观测数据来估计状态变量的当前值，并以状态变量的估计值的形式给出。
卡尔曼滤波具有以下特点：算法是递推的，且状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法，因而适用于多维随机过程的设计；离散型卡尔曼算法适用于计算机处理。
2）用递推法计算，不需要知道全部过去的值，用状态方程描述状态变量的动态变化规律，因此信号可以是平稳的，也可以是非平稳的，即卡尔曼滤波适用于非平稳过程。
3）卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。卡尔曼滤波器是解决以均方误差最小为准则的最佳线性滤波问题，它根据前一个估计值和最近一个观察数据来估计信号的当前值。它是用状态方程和递推方法进行估计的，而它的解是以状态变量的估计量的形式给出的。
卡尔曼滤波中信号和噪声是用状态方程和测量方程来表示的，因此设计卡尔曼滤波器要求已知状态方程和测量方程。它不需要知道全部过去的数据，采用递推的方法计算，它既可以解决平稳的和不平稳的随机过程，同时也可以应用解决非时变和时变系统，应用较为广泛。2、卡尔曼滤波器的递推公式：
k|k1a*x(k1|k1)x
pk|k1a*p(k|k1)atb*q*bt
k|k)x(k|k1)k(k)(z(k)h*z(k|k1))x
p(k|k)(ik(k)*h)*p(k|k1)
k(k)p(k|k1)*ht*(r(k)h*p(k|k1)*ht)1
二、设计内容。
基于匀速直线运动的卡尔曼滤波器的**：一物体在二维平面内做匀速直线运动，沿x轴方向的速度为vx=10m/s,vy=10m/s,初始位置x=20m,y=20m;采样周期t=1s，系统过程噪声假设为零均值的高斯白噪声，设x=[x;vx;y;vy],则x的状态方程为：
x(k+1)=a*x(k)+b*u(k)
01t00t^2/2
0100t0,b=其中a=
001t0t^2/2
t00010
过程噪声的自相关矩阵为qk= [30^2 0;0 20^2];
观测方程为：
z(k)=h*x(k)+w(k)
1000zx(k)
其中观测矩阵h=,z(k)=
0010zy(k)
zx(k),zy(k)分别为k时刻目标在两方向的位置x(k),y(k)的测量值。
qxx(k)qxy(k)10
观测噪声的自相关矩阵为rk==2.5^2*01qxy(k)qyy(k)状态误差自相关矩阵按下式进行初始化：
qxx(1)
qxx(1)/tp0=
qxy(1)
qxy(1)/t
qxx(1)/tqxy(1)/t
qxy(1)qyy(1)
2qxx(1)/t^2qxy(1)/t2qxy(1)/t^2qyy(1)/t
2qxy(1)/t^2qyy(1)/t
2qyy(1)/t^2qxy(1)/t
计算可得：2.5^22.5^2/tp0=
2.5^2/t2*2.5^2/t^2
002.5^22.5^2/t
2.5^2/t
2*2.5^2/t^2
利用前两个时刻的观测值z(1)和z(2)来确定初始状态的估计值：x（1|1）=[zx(2);(zx(2)-zx(1) )t;zy(2);(zy(2)-zy(1) )t].
三、matlab程序设计。
clear;t=1;
a=[1 t 0 0;0 1 0 0;0 0 1 t;0 0 0 1];h=[1 0 0 0;0 0 1 0];
b=[t^2/2 0;t 0;0 t^2/2;0 t];x=zeros(4,200)x1=[20;10;20;10];x(:,1)=x1z0=[10;10];z1=[20;20];z=zeros(2,200);
z(:,1)=z0;
m=zeros(4,2*200);
p0=[2.5^22.5^2/t00;2.
5^2/t2*2.5^2/t^200;002.5^22.
5^2/t;002.5^2/t2*2.5^2/t^2];
p=[p0 zeros(4,4*199)];u=randn(2,200);x_r=zeros(4,200);
x_r(:,1)=[20;10;20;10];x_r=zeros(4,200);
x_r(:,1)=[20;10;20;10];for n=1:200
x_r(:,n+1)=a*x_r(:,n)+b*u(:,n);%x的真实值end
for m=1:200
x_r(:,m+1)=a*x_r(:,m);%没加噪声的x的值end
for k=1:200
i=4*(k-1)+1j=2*(k-1)+1rk=2.5^2*[1 0;0 1];qk=[30^2 0;0 20^2];w=randn(2,200);
z(:,k)=h*x(:,k)+w(:,k);
m(:,j:j+1)=(a*p(:,i:i+3)*a'+b*qk*b')*h'*inv(h*(a*p(:,i:i+3)*a'+b*qk*b')*h'+rk);
x(:,k+1)=a*x(:,k)+m(:,j:j+1)*(z(:,k)-h*(a*x(:,k)))
p(:,i+4:i+7)=(eye(4,4)-m(:,j:j+1)*h)*(a*p(:,i:i+3)*a'+b*qk*b');end
x的真实值的各分量的**figure(1)subplot(221)plot(x_r(1,:)axis([0,50,0,200]);xlabel('time');
ylabel(' xr position');title('the xr real track ')subplot(222)plot(x_r(2,:)axis([0,100,0,20]);xlabel('time');ylabel(' xv');
title('the xv real track ')subplot(223)
plot(x_r(3,:)axis([0,50,0,200]);xlabel('time');
ylabel(' yr position');title('the yp real track ')subplot(224)plot(x_r(4,:)axis([0,100,0,20]);xlabel('time');ylabel(' yv');
title('the yv real track ')
经过滤波之后的x各分量的**图%the diagram of x_position after filteringfigure(2)subplot(221)xp=x(1,:)plot(xp,'g');
axis([0,100,0,50]);xlabel('time');
ylabel(' xp position');
title('the track after kalman filtering');
the diagram of x_velocity after filteringsubplot(222)xv=x(2,:)plot(xv,'g');
axis([0,100,-10,10]);xlabel('time');
ylabel('xv velocity');
title('the velocity caused by random acceleration');
the diagram of y_position after filteringsubplot(223)yp=x(3,:)plot(yp,'g');
axis([0,100,0 50]);xlabel('time');
ylabel('yp position');
title('the track after kalman filtering');
the diagram of y_velocity after filteringsubplot(224)yv=x(4,:)
plot(yv,'g');
axis([0,100,-10,10]);xlabel('time');
ylabel('yv velocity');
title('the velocity caused by random acceleration');
没加噪声的x各分量的**图figure(3)subplot(221)plot(x_r(1,:)axis([0,50,0,200]);xlabel('time');
ylabel(' xr position');
title('thetrack of none noise ')subplot(222)plot(x_r(2,:)axis([0,100,0,20]);xlabel('time');ylabel(' xrv');
title('thetrack of xrv');subplot(223)plot(x_r(3,:)axis([0,50,0,200]);xlabel('time');
ylabel(' yr position');
title('tthetrack of none noise ')subplot(224)plot(x_r(4,:)axis([0,100,0,20]);xlabel('time');ylabel(' yrv');
title('thetrack of yrv');
四、图形结果。
x各分量的真实轨迹：
x经过滤波之后的各分量的轨迹：
在无噪声干扰下的x各分量的轨迹：
五设计总结。
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