1. 如图所示一个理想的低通滤波器其传递函数h()，输入一个零均值、方差为的白噪声（不相关随机变量）序列w(n)。
1) 求解输出序列x (n)的功率谱密度并画出其图形；
2) 证明x (n)的自相关可以表达为：
并画出其图形，根据图形说明该滤波器的作用；
3) 用两种方式说明：a.b.
解：1） 由题意可知，零均值白噪声的功率谱为，传递函数为，则，输出序列的功率谱密度为：
其功率谱密度图形如下图所示：
2） 因为自相关和功率谱密度互为傅里叶逆变换，则：
图为：由图形可知，该滤波器的波形为：
3）根据题意可得：
a. b.
2.如图所示，滤波器由下式所述，其中输入是一个确定性信号(b是个已知常量)和零均值随机白噪声序列组成，其中噪声方差为，使用叠加原理计算：
1）计算输出中信号的成分并绘图；
2） 计算噪声功率（即输出中噪声成分的方差）；
3）计算输出中噪声成分的功率谱密度函数并绘图；
4）描述该滤波器的作用并评价其效果。
解：1）当输入信号时，由题可知，则。
输出信号图为：
2）对于均值为零的白噪声，其功率谱为，输入白噪声后，输出功率谱为。
对于给滤波器而言，对其做z变换，可得
则。则输出中噪声成分的功率谱密度函数为：
输出中噪声成分的方差为：
3） 由2）可得，输出函数的功率谱密度函数为：
功率谱密度函数的图形为：
4）由上式可知，系统的频率响应为，则是一个高通滤波器。
3. 一个ar模型描述的随机信号的功率谱密度函数定义如下。
其中表示输入序列的方差。
1）当用白噪声激励该ar系统时，计算该系统的差分方程；
2）若在该系统后接一白化滤波器h '(z)，求h '(z)的系统函数；
解：1） 当用才噪声激励该ar系统时，输出功率谱密度为。
根据已知条件得。
则系统的频率响应为：
传递函数为：
所以有。故系统的差分方程为：
2）若在系统后加一白化滤波器h '(z)，则白化滤波器的系统函数为：
4. 已知一arma模型描述的随机信号，其自相关为，且其z变换定义为：
1）若输入为白噪声序列，请给出该arma模型所描述系统的传递函数h(z) ,并回答：该系统是唯一的吗？
2） 对于序列 x(n)，求解其对应的稳定的白化滤波器。
解：1）信号自相关的z变换为。
则当时，则传递函数有：
因此，该系统不是唯一的。
2）白化滤波器的传递函数，其极点和零点都要在单位圆内，对于1） 中的4种系统的传递函数，其零极点在单位圆只有 ，所以白化滤波器为。
5. 已知一个由arma模型描述的随机信号，其定义如下。
其中是一个方差为的白噪声序列。
1）确定该系统对应的白化滤波器及其零极点；
2）求的功率谱密度函数；
解：1）根据题意，对做z域变换。
可得传递函数为：
则该系统对应的白化滤波器为：
白化滤波器对应的零极点为：
零点： 极点：
3） 由1）知。
则： 所以的功率谱密度函数为：
6. 已知一个由 ar 模型描述的随机信号，其定义如下。
其中 w (n)是方差为的白噪声，运用yule-walker方程求解如下自相关的值
解：由题意通过移项可得。
由yule-walker方程可得：，其中。
则方程组为：
上式解得。7.设期望响应是一个ar(1)过程，参数，激励零均值白噪声的方差，由白噪声驱动的产生该过程的传递函数为。
经过一个信道后，其中信道传输函数为同样为ar(1)模型，在信道输出端加入零均值白噪声，其方差信道输出，和不相关，且。
1） 设计 n=2 的维纳滤波器以估计；
2） 求最小均方差误差。
解：1） 由白噪声驱动的产生该过程的传递函数为则。
的自相关。则 ，
又因为经过一个信道后，其中信道传输函数为同样为ar(1)模型则
的自相关。则
由 ， 得到维纳—霍夫方程。
解得维纳滤波系数：
2） 最小均方差误差为。
信号分析与应用作业答案
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