时间：6月16日（星期一）晚上6：30－8：30
地点：六教104室（上课教室）
试卷共8题，其中4题属于教材第一章内容，其余4题分别的其他章节。
请同学们对匹配滤波器，离散卡尔曼滤波，离散维纳滤波，高斯白噪声下确知信号的检测，k－l展开，高斯白噪声信道中的单参量信号估计等内容重点关注。
1.1 （付柏成 20060150）
在例1.2中，设噪声均方差电压值为＝2v，代价为＝2，＝1。信号存在的先验概率p＝0.2。试确定贝叶斯意义下最佳门限，并计算出相应的平均风险。
解：根据式（1-15），可以算出。
而判决门限。
根据式（1-21）可知平均风险。而。而。
所以。同理。
所以。1．2 (关瑞东 20060155)
假定加性噪声服从均值为零，方差为的正态分布。此时，两个假设为。
我们根据的两次独立测量值作判断，则是统计独立的，在假设下其均值为=1，在假设下均值为=0，因而在两种假设下它们的联合概率密度函数可写为。
于是，似然比等于。
如果，则选择假设，否则选择假设。由于指数函数是单调函数，上式两边取对数不影响原来的判决，易得到。
式中，为样本平均值，为判决门限。
划分判决区域和的界面是两维空间的一个平面，其曲线方程可写为。
由于统计量是个高斯随机变量的线性组合，因而也是高斯分布的，其均值在假设和下分别是和，方差为，即
因而虚警概率和漏报概率分别为。
平均风险可表示为条件代价和对先验概率再平均。
其中 1.3 （徐世宇 20060175）
所以等效于成立时的判决区域为。
否则判为。2）似然比接收框图。
为真却判为的概率为。
1．4 （姚瑶 20060176）
由似然比准则。
若，则所有值都判为。若，则。
1.5 （吴芳20060190）
1）由条件可知： ，
所以似然比：
得： 所以：
2) 由条件：,
1.6 （骆振兴20060183）
解：(1)根据题意，这里采用最大似然准则进行判决，根据ｘ2分布的定义。
p（x/hk）=xn/2-1e-x/2/[2n/2г（n/2）]，x>0,其中г(n/2)为xn/2-1e-x在[0 ∞]上的积分值，则有。
p(x/h0)=e-x/2/2
p(x/h1)=xe-x/2/4
p(x/h2)=x2e-x/2/16
p(x/h3)=x3e-x/2/96
当０＜＝时。
p(x/h0)/p(x/h1)=2/x>1
p(x/h0)/p(x/h2)=8/x2>1
p(x/h0)/p(x/h3)=48/x3>1
所以当0=通过相同方法分析得到其他三个检验的情况；
2)令y=[x1x2……xm]1/m,因为x1x2……xm为独立同分布的随机变量，p(y/hk)=[p(xi/hk)]m(1/m)=p(xi/hk)
可见y在四种假设情况下的似然函数与上题相同，所以可用y替代x。
1.7 （翟海莹20060200）
似然函数为：
采用极大极小化准则，根据已知代价因子，有：即。得。
即。又。
所以。1.8 （王钰婷 20060177）
若上题假定则。
1） 每个假设的先验概率为何值时达到极大极小化风险？
2） 根据一次观测的判决区域如何？
解：（1）采用极大极小化准则：
由于。极大极小化风险a）
由上题可知：；
判决规则b）
由（a）式可得：
即c）由上（c）式可以计算出的值；
再代入（b）右式：
可求出达到极大极小化风险时，先验概率的值；
2）最后根据判决规则（b）式：
可得判决区域。
1.9 （周杨杨 20060178）
解： 由题意得：其中。
由上式可计算出的值。
1.10 （季莹莹20060181）
应用式（1-6）~（1-8）证明（1-9）
式1-9等效于。
即。经移项得。
可得。1．11 （20060184 虞成磊）
试证明例1.12中的最小均方误差估计量的表达式(1-127)和风险表达式(1-129).
p(=p(p(/p()=
其中， ,由式1-106得，
由上式得。|因为为高斯分布， ,
上式。1．12 （高锋20060195）由。可知。
1)时。2)时。
可见，增大时，增大，平均风险增大；
3)时。可见，增大时，减小，平均风险减小。
1.13 （王利强20060179）
设（i＝1，2，……n）是观测样本，且{}是弱平稳过程，均值为。
,如果{}，i＝1，2，……n）是独立的，试证明：
1） 样本均值＝；
2） 样本方差＝分别是无偏的，且e=
证明：(1)e=e n*=
所以本均值＝是无偏的。
(2) e=e=e=e[-n*]
所以样本均值 ＝ 无偏的。
e＝e-2e-e-
1.14 （邓朝日20060186）解：
所以，二次bayes估计为。
平均bayes估计为。
2）s的极大似然估计。
又 因此，该最大似然估计为无偏估计。
当时， 所以，s的最大似然估计是均方一致的。
1.15 （朱芳英 20060182）
解：在（0）上均匀分布。
是高斯白噪声。
1.16 （莫晨晨 20060198）
设高斯过程x(t)的均值为，但方差未知。试利用它的n个统计独立样本， (i=1, 2,…,n)。
（1）证明的极大似然估计为＝
（2）证明是充分估计值和优效估计量。
1）证明：高斯分布的随机变量，有。
p ()此时似然函数为。
p ()对数似然函数则为。
ln p ()其中c为常数。根据。
因此有的极大似然估计为。
2）证明：e e
故估计量是无偏的。
又＝＝其中就是比例系数h()，显然满足式（1－87），故是优效估计量，从而也一定是充分估计量。
1.17 （孔超 20060193）
1.18 （王旭20060185）
解：因为e[x] =
e 有矩法，可令。
由此解得及的矩估计为。
1.19 （刘洋20060188）
设母体，是其样本，试求使。
1）为的无偏估计量；
2）为的无偏估计量。
解：（1）要使为的无偏估计量，则应该。
故时，为的无偏估计量。
2）暂时没思路。
1.20 （陈丽萍 20060189）
设母体，参数未知，是x的n个样本。试证：是的优效估计量。
证明：是x的均值，令=作为的估计量，e=样本服从高斯分布，则均值估计量也服从高斯分布。
由于是独立的样本，因此似然函数是个一维高斯密度函数的连乘，即。
对数似然函数为。
上式对求导，得。
就是比例系数，显然满足式，故=是的优效估计量。
1.21 （李丽月 20060197）
设总体x 服从参量为的泊松分布， >0是未知参量，是x的n个样本，假定损失函数为=，并且具有先验分布密度。
试求的bayes估计。
解：由题意可知，总体x 服从参量为的泊松分布
且具有先验分布密度， >0
则， >0
又损失函数为=
则条件代价表示式为。
则的bayes估计量应满足如下方程。
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