《信号与系统》（第3版）
习题解析。高等教育出版社。
目录。第1章习题解析 2
第2章习题解析 6
第3章习题解析 16
第4章习题解析 23
第5章习题解析 30
第6章习题解析 40
第7章习题解析 48
第8章习题解析 54
1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？
cd)题1-1图。
解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2 给定题1-2图示信号f( t )，试画出下列信号的波形。[提示：f( 2t )表示将f( t )波形压缩，f()表示将f( t )波形展宽。]
a) 2 f( t 2 )
b) f( 2t )
c) f()
d) f( t +1 )
题1-2图。
解以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-21-3 如图1-3图示，r、l、c元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统sr、sl、sc，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
题1-3图。
解各系统响应与输入的关系可分别表示为。
1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为a的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
题1-4图。
解系统为反馈联接形式。设加法器的输出为x( t )，由于。且。故有。
即。1-5 已知某系统的输入f( t )与输出y( t )的关系为y( t ) f( t )|试判定该系统是否为线性时不变系统？
解设t为系统的运算子，则可以表示为。
不失一般性，设f( t ) f1( t ) f2( t )，则。
故有。显然。
即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
1-6 判断下列方程所表示的系统的性质。
解 (1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。
1-7 试证明方程。
所描述的系统为线性系统。式中a为常量。
证明不失一般性，设输入有两个分量，且。
则有。相加得。即。可见。
即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。
1-8 若有线性时不变系统的方程为。
若在非零f( t )作用下其响应，试求方程。
的响应。解因为f( t ) 由线性关系，则。
由线性系统的微分特性，有。
故响应。2-1 如图2-1所示系统，试以uc( t )为输出列出其微分方程。
题2-1图。
解由图示，有。又。故。
从而得。2-2 设有二阶系统方程。
在某起始状态下的0+起始值为。
试求零输入响应。
解由特征方程。
得1 = 2 = 2
则零输入响应形式为。
由于。yzi( 0+ )a1 = 1
2a1 + a2 = 2
所以。a2 = 4
故有。2-3 设有如下函数f( t )，试分别画出它们的波形。
a) f( t ) 2( t 1 ) 2( t 2 )
b) f( t ) sint[( t ) t 6 )]
解 (a)和(b)的波形如图p2-3所示。
图p2-32-4 试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。
题2-4图。
解 (a) f( t ) t ) 2( t 1 ) t 2 )
(b) f( t ) t ) t t ) t 2t )
2-5 试计算下列结果。
1) t( t 1 )
解 (1) t( t 1 ) t 1 )
2-6 设有题2-6图示信号f( t )，对(a)写出f ( t )的表达式，对(b)写出f ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。
题2-6图。
解 (a)f ( t ) t 2 )，t = 2
2( t 4 )，t = 4
(b) f ( t ) 2( t ) 2( t 1 ) 2( t 3 ) 2( t 4 )
图p2-62-7 如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i和ul，对(b)求冲激响应uc和ic，并画出它们的波形。
题2-7图。
解由图(a)有。
即。当us( t ) t )，则冲激响应。
则电压冲激响应。
对于图(b)rc电路，有方程。
即。当is = t )时，则。
同时，电流。
2-8 设有一阶系统方程。
试求其冲激响应h( t )和阶跃响应s( t )。
解因方程的特征根 = 3，故有。
当h( t ) t )时，则冲激响应。
阶跃响应。2-9 试求下列卷积。
(a) (t ) 2
b) (t + 3 ) t 5 )
c) tet( t ) t )
解 (a) 由( t )的特点，故。
t ) 2 = 2
b) 按定义。
t + 3 ) t 5 )
考虑到 < 3时，( 3 ) 0； >t 5时，( t 5 ) 0，故。
t + 3 ) t 5 )
也可以利用迟延性质计算该卷积。因为。
t ) t ) t( t )
f1( t t1 ) f2( t t2 ) f( t t1 t2 )
故对本题，有。
t + 3 ) t 5 ) t + 3 5 )(t + 3 5 ) t 2 )(t 2 )
两种方法结果一致。
(c) tet( t ) t ) tet( t )]et tet )(t )
2-10 对图示信号，求f1( t ) f2( t )。
题2-10图。
解 (a)先借用阶跃信号表示f1( t )和f2( t )，即。
f1( t ) 2( t ) 2( t 1 )
f2( t ) t ) t 2 )
故。f1( t ) f2( t ) 2( t ) 2( t 1 )]t ) t 2 )]
因为。 t ) t ) t( t )
故有。f1( t ) f2( t ) 2t( t ) 2( t 1 )(t 1 ) 2( t 2 )(t 2 ) 2( t 3 )(t 3 )
读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图p2-10(a)所示。
b)根据 ( t )的特点，则。
f1( t ) f2( t ) f1( t ) t ) t 2 ) t + 2 )]
f1( t ) f1( t 2 ) f1( t + 2 )
结果见图p2-10(b)所示。
图p2-10
2-11 试求下列卷积。
(a) b)
解 (a)因为，故。
(b)因为，故。
2-12 设有二阶系统方程。
试求零状态响应。
解因系统的特征方程为。
解得特征根。
故特征函数。
零状态响应。
2-13 如图系统，已知。
试求系统的冲激响应h( t )。
题2-13图。
解由图关系，有。
所以冲激响应。
即该系统输出一个方波。
2-14 如图系统，已知r1 = r2 =1，l = 1h，c = 1f。试求冲激响应uc( t )。
题2-14图。
解由kcl和kvl，可得电路方程为。
代入数据得。
特征根。1,2 = 1 j1
故冲激响应uc( t )为。
2-15 一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入f( t ) t )时，全响应y1( t ) 3e3t( t )；当输入f( t ) t )时，全响应y2( t ) e3t( t )，试求该系统的冲激响应h( t )。
解因为零状态响应。
t ) s( t )，t ) s( t )
故有。y1( t ) yzi( t ) s( t ) 3e3t( t )
y2( t ) yzi( t ) s( t ) e3t( t )
从而有。y1( t ) y2( t ) 2s( t ) 2e3t( t )
即。s( t ) e3t( t )
故冲激响应。
h( t ) s ( t ) t ) 3e3t( t )
2-16 若系统的零状态响应。
y( t ) f( t ) h( t )试证明：
2) 利用(1)的结果，证明阶跃响应。
证 （1）因为。
y( t ) f( t ) h( t )
由微分性质，有。
y ( t ) f ( t ) h( t )
再由积分性质，有。
2）因为。s( t ) t ) h( t )
由（1）的结果，得。
3-1 求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。
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