课后习题及答案。
第一章离散时间信号与系统。
第二章 z变换。
第三章离散傅立叶变换。
第四章快速傅立叶变换。
第五章数字滤波器的基本结构。
第六章无限长单位冲激响应（iir）数字滤波器的设计方法。
第七章有限长单位冲激响应（fir）数字滤波器的设计方法。
第八章数字信号处理中有限字长效应。
第一章离散时间信号与系统。
1 .直接计算下面两个序列的卷积和。
请用公式表示。
分析：注意卷积和公式中求和式中是哑变量（ 看作参量），结果中变量是，
分为四步 （1）翻褶（ -m ），2）移位（ n ）,3）相乘，如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为，系统的单位抽样响应。
为，试求系统的输出，并画图。
分析：如果是因果序列可表示成=，例如小题（2）为= ;
卷积和求解时，的分段处理。
3 .已知 ，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的，若是周期性的，试确定其周期：
分析：序列为或时，不一定是周期序列，当整数，则周期为；
当无理数 ，则不是周期序列。
5. 设系统差分方程为：
其中为输入，为输出。当边界条件选为。
试判断系统是否是线性的？是否是移不变的？
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等），则递推求解必须向两个方向进行（n 0及n < 0）。
6.试判断：
是否是线性系统？并判断(2),(3)是否是移不变系统？
分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性，移不变性：输入与输出的移位应相同t[x(n-m)]=y(n-m)。
7. 试判断以下每一系统是否是(1)线性，(2)移不变的？
分析：注意：t [x(n)] g(n) x(n) 这一类表达式，若输入移位m,则有x(n)移位变成x(n-m),而g(n)并不移位，但y（n）移位m则x（n）和g(n)均要移位m 。
8. 以下序列是系统的单位抽样响应，试说明系统是否是。
1)因果的，(2)稳定的？
分析：注意：0！=1，已知lsi系统的单位抽样响应，可用来判断稳定性，用h（n）=0，n<0 来判断因果性。
9．列出下图系统的差分方程，并按初始条件，求输入为时的输出序列，并画图表示。
分析：信号与系统”课中已学过双边z变换，此题先写出h(z) 然后利用z反变换（利用移位定理）在时域递推求解；也可直接求出序列域的差分方程再递推求解[注意输入为u(n)]。
解：系统的等效信号流图为：
10. 设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定。
设系统是因果性的。 试求：
分析：小题(a)可用迭代法求解。
小题(b)要特别注意卷积后的结果其存在的n值范围。
分析：要想时域抽样后不产生失真的还原出原信号，则抽样频率（）必须大于最高信号频率（）的2倍，即满足。
解：根据奈奎斯特定理可知：
分析：由于可知的非零范围为，h(n-m) 的非零范围为。
解：按照题意，在区间之外单位抽样响应皆为零；在区间之外输入皆为零，
将两不等式相加可得：，在此区间之外，的非零抽样互不重叠，故输出皆为零。由于题中给出输出除了区间之外皆为零，所以有：
第二章 z变换。
1． 求以下序列的z变换，并画出零极点图和收敛域。
分析：z变换定义，n的取值是的有值范围。z变换的收敛域。
是满足。的z值范围。
解：(1) 由z变换的定义可知：
解：(2) 由z变换的定义可知：
解：（3）解： (4) ，
解：(5) 设 则有。而
因此，收敛域为 ：
解：(6)
2 . 假如的z变换代数表示式是下式，问可能有多少。
不同的收敛域。
分析：解 : 对x(z)的分子和分母进行因式分解得。
x(z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , j/2 , 3/4
∴ x(z)的收敛域为 :
(1) 1/2 < z | 3/4 ,为双边序列， 请看 《图形一》
(2) |z | 1/2, 为左边序列，请看 《图形二》
3) |z | 3/4 ， 为右边序列， 请看 《图形三》
分析：长除法：对右边序列（包括因果序列）h（z）的分子、分母都要按。
z的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）h（z）的分子、分。
母都要按z的升幂排列。
部分分式法：若x（z）用z的正幂表示，则按x(z)/z 写成部分分。
式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得。
x（n）。留数定理法：
1）（i）长除法：
所以： 1）(ii)留数定理法：
设 c为。内的逆时针方向闭合曲线：
当时，在c内有。
一个单极点。
则 1）(iii)部分分式法：
因为 所以
2）(i). 长除法：,因而是左边序列，所以要按的。
升幂排列：所以
2）(ii)留数定理法：
内的逆时针方向闭合曲线。
在c外有一个单极点
在c内有一个单极点。
综上所述，有：
2)(iii). 部分分式法：
则 因为则是左边序列。
所以 3)(i). 长除法：
因为极点为，由可知，为。
因果序列， 因而要按的降幂排列：则 所以。
3)(ii). 留数定理法：
内的逆时针方向闭合曲线。
3)(iii). 部分分式法：则。所以。
4. 有一右边序列，其变换为。
a) 将上式作部分分式展开(用表示)，由展开式求 。
b) 将上式表示成的多项式之比，再作部分分式展开，由展开。
式求 ,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。
注意：不管哪种表示法最后求出x（n）应该是相同的。
解：(a)
因为。且x(n)是右边序列
所以 b)
5．对因果序列，初值定理是，如果序列为时。
问相应的定理是什么？
其z变换为：
分析：这道题讨论如何由双边序列z变换来求序列。
初值，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，它们各自由求表达式是不同的]，将它们。
各自的相加即得所求。
若序列的z变换为：
由题意可知：x(z)的收敛域包括单位圆。
则其收敛域应该为：
6. 有一信号，它与另两个信号和的。
关系是： 其中。
已知 ， 分析：
解：根据题目所给条件可得：而 所以
7. 求以下序列的频谱。
分析：可以先求序列的z变换再求频率。
即为单位圆上的z变换，或者直接求序列的。
傅里叶变换。
解：对题中所给的先进行z变换。
再求频谱得：
8. 若是因果稳定序列，求证：
分析：利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解。
再利用的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。
证明：9．求的傅里叶变换。
分析：这道题利用傅里叶变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系。
解：根据傅里叶变换的概念可得：
10. 设是如下图所示的信号的傅里叶变换，不必求出，试完成下列计算：
abc) (d)
分析：利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式。
解：由帕塞瓦尔公式可得：
即。由帕塞瓦尔公式可得：
11．已知有傅里叶变换，用表示下列信号的。
傅里叶变换。
(a) (b)
c) 分析：
利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。解：c)
则 而所以 12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统。
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域；
(b) 求此系统的单位抽样响应；
(c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳。
定的（非因果）系统的单位抽样响应。
分析：则 ，要求收敛域必须知道零点、极点 。收敛域为z平面。
数字信号处理答案
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