1.1已知高斯随机变量x的概率密度，求它的数学期望和方差。
解：根据数学期望与方差定义：
令，，代入上式并整理。
与前面以一样同样变换，即令，整理后。
查数学手册的积分表，可得：
令及，利用上式的积分结果，可得。
可见高斯变量的概率密度分布由它的数学期望和方差唯一决定。
1.2随即变量，其中为随机变量，、为常数且》0，求与的相关系数。
解：根据数学期望的定义，若，则。
先求协方差，再求相关系数。
将，代入，并由概率密度性质，消去，得到。
同理，将，代入，并由概率密度性质，消去则有。
有前两式联立，解得，
可见，当与呈线性关系，且＞0时，二者的相关系数。
即与是完全相关的。
1.5 随机变量和满足线性关系，为高斯变量，、为常数，求的概率密度。
解：设的数学期望和方差分别为和，的概率密度为。
因为和是严格单调函数关系，其反函数。
且。即可得到得概率密度。
1.7已知二维随机变量的联合概率密度，求，之和的概率密度。
解：设； 先求随机变量，的反函数及雅克比行列式，即；
二维随机变量的联合概率密度为。
利用概率密度性质，的边缘概率密度为。
最后，用和代替和，得。
这就是两个随机变量之和的概率密度。
1.9随机变量，为相互独立的高斯变量，数学期望为零，方差为1。求的概率密度。
解：已知数学期望为零、方差为1的高斯变量概率密度为。
先根据定义求，的特征函数。
由特征函数的性质，
则可求得的概率密度：
1.11求两个数学期望和方差不同且相互独立的高斯变量，之和的概率密度。
解：设，可得两个相互独立的随机变量之和的概率密度为。
将，的概率密度代入上式。
利用欧拉积分。
显然，也是高斯变量，且数学期望和方差分别为。
习题：1.10 已知二维随机变量（x1,x2）的概率密度为，随机变量（x1,x2）与（y1,y2）随机变量的关系有下式唯一确定，证明。
证：因为，
所以。又和，和可得，
所以。习题1.17 已知高斯随机变量x的数学期望为0，方差为1，求的概率密度。
已知x~n(0,1)，所以。
由得到。2.1若随机过程为， <式中a为在(0,1)上分布的随机变量，求e[x(t)]及rx(t1,t2)
式中为在上均匀分布的随机变量，求及。
解：由于与之间有确定的时间函数关系，故二者的概率分布函数相等，即。
考虑到。故有。
2.2设复随机过程为，式中，an(n=1,2,..n)是相互独立的实正态随机变量，其均值为0，方差为；求复随机过程z(t)的均值、自相关函数和协方差函数。
解：由欧拉公式可知。
因为的实部和虚部均为正态随机变量的线性组合，故有它们也都是正态的。所以，由定义式可分别求得均值、自相关函数和自协方差函数为。
2.4设随机信号，均值5，方差1，设随机信号，求y(t)的均值、自相关函数、自协方差函数。
解：e(v)=5,d(v)=1,于是。
相应的，可求出的均值、自相关函数分别为：
另外，有随机过程积分的数学期望和相关函数运算法则，可求得的均值，自相关函数分别为：
可得的协方差为。
2.5证明由不相关的两个任意分布的随机变量a,b构成的随机过程。
是宽平稳而不一定是严平稳的。式中，w0为常数，a,b的数学期望为零，方差相同。
证：由题意知：, 首先，证明是宽平稳的。
令，则有，<0
故是宽平稳的。
其次，证明非严平稳。
可见，的三介矩与t有关，所以非严平稳。
58页联合宽平稳随机过程性质1
证明：根据互相关函数定义，有。
证毕。同理可得。
2.10两个平稳随机过程和，试问是否平稳相依，是否正交、不相关、统计独立。
解：因为平稳随机过程和的互相关函数为。
故这两个过程是平稳相依的。
由于，仅在时为0，这时和的取值才是正交的。而对于其他值，和是互不正交的。
又因为和的均值分别为。
故得到协方差函数。
由于仅在等于0，此时，随机过程、的状态才是不相关的；而在时，，故从整体来看，随机过程和是相关的，因而它们是统计不独立的。
2.11。a、b是相互独立的正太随机变量，且有、，求x(t)的。
一、二维概率密度t)
解：由于是一正态过程，为了求其概率密度，只要求出其均值和方差即可。
因为随机变量a与b统计独立，所以有。
这时， 这样，便可求得的均值、方差为，
由上面分析可知，正态过程是平稳的，它的一维概率密度与t无关，即。
为了确定平稳正态过程的二维概率密度，只需求出随机变量与的相关系数，这里令，容易求得。
则二维概率密度为。
2.12 通过一十字路口的车流是一泊松过程。设1分钟内没有车辆通过的概率为0.2，求2分钟内有多于一辆车的概率。
解：以表示在区间[0,t]内通过的车辆数，设是泊松过程，则。
故，则。2.13设有三个状态的马氏链，其p=，试问何时此链具有遍历性？
解：(1)显然，m=1时，有p(1)=p，因p中所有元素均大于0，所以m=1时，该链具有遍历性，即。
2）求在时可列出方程组，，
有题设条件解上述方程组，得到，，
习题2.14 设x(t)雷达发射信号，与目标后返回接收机的微弱信号是ax(t-г1)，a远小于1，噪声为n(t)，全信号为y(t)= ax(t-г1)+ n(t),(1)若x(t) 、n(t)各自联合平稳，求互相关函数rxy(t1,t2),(2)在(1)条件下，假如n(t)均值为0，且与n(t)相互独立，求rxy(t1,t2)
因为、是各自平稳且联合平稳。
所以， 所以。
令， 2），且。
习题2.17 设复随机过程，ai~n(0,),求的均值函数和相关函数。
解： 令， 则，1)
令m=k,则。
习题2.22 设马尔科夫链的一步转移概率p=，试问（1）几个状态？是遍历？求二步转移矩阵。（2）求pj
解：（1）共有3个状态，因为（对一切i,j）,所以是遍历的。
2） 得到，，
3.1 已知正弦随相过程，求x(t)的功率谱密度及其平均功率。
解：含有周期分量，引入函数可得。
表示x(t)的功率谱密度在处的函数，功率集中在处。
随机过程的平均功率为该过程的均方值，即。
90页随机过程功率谱密度性质2是w的实函数，满足。
证明： 性质3是偶函数，满足。
证明：对于实随机过程x(t)的截断函数的频谱有。
推到。代入式中。
则有。96页互功率谱密度性质5 若x(t)、y(t)不相关，且分别具有常数均值，则。
证：（1）因为x(t)、y(t)不相关，所以，又。所以。
因为x(t)、y(t)不相关，所以。
同理可证，所以。
习题：3.18 已知平稳随机过程，证明
证： 因为皆为平稳且相互正交。
所以， 3.20 随机过程w(t)=ax(t)+by(t), x(t)和y(t)是宽联合平稳过程 (1)w(t)功率谱密度(2) x(t)和y(t)不相关，w(t)功率谱密度（3）求互功率谱密度。
2）若x(t)、y(t)不相关，则。所以。
同理可得，所以，
习题 3.22 设随机过程x(t)和y(t)联合平稳，求证以及。
证：因为x(t)和y(t)联合平稳，所以，且。
所以， 所以，，
解析过程性质3
证： 令，则。
同理可证其他。
性质4 证：
令，则。窄带随机过程的性质性质5
证。因为，，
所以。同理可证明
因此。性质7
证： 因为，，，
所以。同理，可以证明。
对比两式，得，其他同理可得。
习题4.1 设x(t)为实函数，证明（1）x(t)为t的奇函数，希尔伯特为偶函数（2）x(t)为t的偶函数，希尔伯特为奇函数。
证：（1）因为x(t)为t的奇函数，所以x(-t)=-x(t)令，则。
令，则。习题4.4对于窄带随机过程，若已知，求证。
证。因为，，
所以。因为，
所以。同理可证：
所以。习题4.7 对于0均值，方差的窄带平稳高斯过程。
求证，数学期望与方差。
证：（1）令，则。
令，则。所以。
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