2023年线性代数a期末****。
一解在方程两端左乘a 得。
4分。计算得，则，即。
8分。10分。
二、解方程组的系数行列式为。
4分。所以当方程组有唯一解6分。
当方程组有无穷多解，此时增广矩阵为。
则为方程组的一个特解，是导出组的一个基础解系，则一般解为。
10分。三解。
1）由（）=
且满秩知为一组基………3分。
2）由（1）知过渡矩阵为6分。
3)在后一个基下的坐标为。
………10分。
四解。6分。
所以7分。极大无关组为8分剩余向量的表出 10分。
五、解。1) a的初等因子为。
5分。2) a的特征值为。
1, 6, 6, 0, 0, 010分。
六、解在的自然基下的矩阵为。
10分。七、证明：的实矩阵的特征值都为实数的充要条件为（其中为的迹）。
证明：我们知道。
6分。所以。
8分。故而的特征值都为实数的充要条件为即。
10分。八、解
特征值为4分。
当时， 相应的特征向量为。
正交化得 1=(-1,1,0), 2=，单位化得当时， 特征向量为。
3=(1,1,1)，单位化得。
………6分。
所以取。令x=qy, 二次型化为。
f = y12 – y22 +5 y328分。
2）二次型不是正定的10分。
九、证明：充分性。设a可逆，则对任意b，……5分。
必要性： 解法一： 使 b取遍所有单位向量后， 原方程组都有解， 以这些解向量作为列向量构做矩阵b, 显然 ab=i, 其中 i 为单位阵， 此知， a可逆。
解法二： 由题目假设知： 任何n维向量 b 都能由 a 的列向量组线性表出， 所以向量空间 rn 的维数不会超过a 的列向量组的秩， 由此得出：
a的列向量组的秩为n, 即a可逆10分。
十、证：设。
则2分。故。
4分。同理，5分。
2）如存在，使得，则。
6分。由（1）知方程组与同解。……9分。
从而，即，与为特征向量矛盾。……10分。
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