本部分是全课程的基础，特别是计算问题的基础。本部分概念多而且杂，是许多考概念的小题的考核对象，考点多而碎。关键性概念：矩阵的初等变换、矩阵的乘法、可逆矩阵。
一、初等变换什么时候可用列变换？什么时候不能用？ 如果行、列变换都可以用，能不能交替用？
两方面： 1、方程组问题 2、秩的计算用初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵，把可逆矩阵化为单位矩阵。
1、方程组问题（初等变换法） 对方程组的增广矩阵作初等行变换，反映了方程组的同解变换。
若，则与同解。
注意：初等列变换不是同解变换，因此在这类问题中只能做行变换，不能用列变换！
初等变换法包括以下几种问题： 1）克莱姆法则的求唯一解。
当a是n阶矩阵时，有唯一解可逆。
计算此解：，就是解。
2）矩阵方程的求解第一类基本矩阵方程：ax=b 其中a是n阶可逆矩阵设此时。
则。求x的方程。
第二类基本矩阵方程：xa=b 其中a是n阶可逆矩阵。
3）求可逆矩阵a的逆矩阵。
的解。例1、设3阶矩阵有3个特征向量，，，它们的特征值依次为1,2,3,求．(97四)
解：例2 、已知求 （03年）
解：，则。从而。
例3 、已知求。
解：，则。2、秩的计算基本事实：
1）初等行、列变换都不改变矩阵的秩 2）阶梯形矩阵的秩即其非零行数 3）矩阵的秩即其行向量组的秩，也就是其列向量组的秩 4）如果，则a的列向量组与b的列向量组有相同的线性关系；极大无关组相对应，并且有相同的内**性表示关系。
例4、a为何值时线性相关？此时求的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。
解：相关。于是或时，线性相关。
就是极大无关组，2）时。
则是的极大无关组，并且，。于是是的极大无关组，还有一类情形也限制了列变换的应用。
如计算的系数矩阵a和增广矩阵的秩，可同时计算，只用对作初等行变换化为阶梯形矩阵。此时的非零行数即，而b也是由a化得的，从而b的非零行数即。
如果化时用了列变换则b可能不是a化得，不能用之求。
例5、设已知的解都适合方程求及的通解。
解：在增添方程后解不改变，于是。
是一个解，构成的基础解系。
通解： 任意。
二、矩阵乘法两个特殊规律：
1、 若则。
2、 若则。
例如：则。应用之一：矩阵分解。
例：设其中则。
矩阵分解：若两个矩阵和满足：的每个列向量都是的列向量组的线性组合，则可分解为与一个矩阵的乘积：
例6、设为3阶矩阵，是线性无关的3维列向量组，满足。
1） 求3阶矩阵，使得。
2） 求 （05年）解：1）
例7、设线性无关，判断的线性相关性。
解：用矩阵分解。
于是当可逆时， 无关；若不可逆，则相关。
得：线性相关。
应用之二：加深对矩阵乘法的认识。
设则。即：的第个列向量都是的列向量组的线性组合，组合系数是的第个列向量的各分量。
类似的，的第个行向量是的行向量组的线性组合，组合系数是的第个行向量的各分量。
对角矩阵在右侧乘矩阵，即用依次乘的各个列向量。
在左侧乘矩阵，即用依次乘的各个行向量。
初等矩阵从右边乘一个矩阵，等同于对作一次相应的初等列变换；初等矩阵从左边乘一个矩阵，等同于对作一次相应的初等行变换。
例如： 三、矩阵可逆性的判定。
阶矩阵可逆（非奇异，非退化）
满秩）的列（行）向量组线性无关。
唯一解（上有零解）
不是的特征值（不是的特征值可逆）
例8、设是矩阵，是矩阵，则。
a）可逆。b）可逆。
c）不可逆。
d）不可逆。
解：用满秩的角度看：阶，阶，于是不满秩，不可逆；不能判断是否满秩。
例9、设都是阶矩阵。证明：
可逆可逆。证：用方程组来证。
证“”可逆只有零解。
设是的解，即。
即。由可逆得从而。
设阶矩阵满足。
1） 如果则可逆。
例如：则，可逆。
2） 如果则可逆。
如果是的特征值，则是的特征值，由于于是当时，不是的特征值，从而可逆。
例10、设阶矩阵满足，证明和都可逆。
证：可逆都可逆，3和-1都不是的解，从而都可逆。
若的特征值为则的特征值为。
因为，所以或，则或1
即的特征值都不为0，它可逆。
等式化简及恒等变形。
这是对矩阵的各种运算方法的综合运用，也包含等的性质。
矩阵右肩记号有四种：
其中任何两个先后次序可交换：等等。
但是与不一定相等。
例10、设都是阶矩阵，满足求。
解：直接代入得往下就无法进行了。
对两个等式分别讨论：
于是。例11、设都是对称矩阵，且可逆，证明也对称。
证：要验证。
于是要证。对此式作恒等变形：用从左侧乘之，得。
在右侧乘得。
（1）与（2）互相可用恒等变形变化，于是（1）成立（2）成立，而（2）式两边展开，左右都是。
例12、设都是矩阵，其中可逆，证明：与的解相同。
证：的解为的解为。
同解即。它与互相可用恒等变形转化，即。
例13、设两个阶矩阵满足。
其中证明。1）和都可逆。
证：（1）都可逆可逆。
从而可逆。（2）由。
则互为逆矩阵，有。
两边展开，得。
即则。都可逆，并且。
例14、设是两个阶矩阵，可逆。
1） 如果证明。
2） 如果都可逆，证明。
证：（1）等式两侧都是这三个矩阵的乘积，只是顺序不同，如果它们两两乘积可交换，则等式自然成立。
由。由可逆，用从左、右两侧乘此式，恒等变形有。
类似的可得到。
于是，两两乘积可交换。
（2）等式两边都是可逆矩阵，两边取逆矩阵是恒等变形，得。
此式两边各展开，都是相等。
（注：事实上等式无需加条件就成立，只要用分别加到等式两侧，则都得到。
向量组是方程组的工具方程组是向量组的应用。
一、向量组的线性关系、秩。
这部分内容的特点：概念繁多、抽象、深入、复杂，是全课程的难点，也是理论制高点。
关键性概念：线性表示（出）、线性相关性、极大无关组与秩。
注意总结秩的作用，它把抽象问题数量化，从而得到快捷的解决方法（秩法）
1、 线性表示。
有三类：可用线性表示，即。
有解。若则上方程即为。
有矩阵等式。
线性表示的判断（用秩）
推论：若则。
例15、设都是维向量，已知。
但。证明：（1） （2）
证：用定义。由。
有。因为所以。
于是。用反证法证明（2），如果有。
则。与条件矛盾。
“秩法”从而即。
即。例16、设是维向量组。证明：
每个维向量。
证：“”维向量组的秩不会超过，于是当时，一定也是，从而。
”取一个阶可逆矩阵则从而。
例17、设取什么值时，解：即。
计算这两个秩：
例18、设是齐次方程组的基础解系，问：一个4维向量是的解的条件是什么？
解：是的解。
得是的解。即是的解。
例19、取何值时与等价？
解：即。当时， 与不等价。
当时，再求：
时。例20、设（i）和（ii）都是4元齐次线性方程组，（i）有基础解系（ii）有基础解系求（i）和（ii）的公共解。
解：ii）的解有的形式。
是公共解。于是：是公共解公共解任意。
例21、设（i）和（ii）都是3元非齐次方程组，（i）有通解任意，（ii）有通解任意，其中求（i）与（ii）的公共解。
解：思路：公共解一定是（ii）的解，从而有的形式，并且满足由此决定。
得于是公共解只有一个：
例22、设是矩阵，是矩阵，证明存在矩阵满足。
证：记。” 若则。从而。即。
”当时，用矩阵分解，存在矩阵，使得。
2、 向量组的线性相关性。
1）定义与意义。
定义：对维向量组如果存在不全为0的一组数使得。
则称线性相关，否则就称它们线性无关。
意义：时相关即无关即。
时线性相关指存在可用其余向量线性表示，线性无关指每个向量都不能用其它向量线性表示。
用齐次方程组看，记则线性相关有非零解。
线性相关。（2）向量的个数大于维数则一定线性相关。
个维向量线性相关。
（3）线性无关向量组的部分组一定线性无关。
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