南京林业大学试卷。
课程线性代数a（a卷答案）2010 ~2011学年第一学期。
一、 填空题（共20分，每题2分）
1．已知全排列为偶排列，则 32 .
2．设为3阶方阵，且满足2,是的伴随矩阵，则 32 .
3．将矩阵添加一行得到矩阵，记，则的大小关系为。
4．已知，则矩阵的第3行所有元素的余子式之和为 0 .
5．若3阶方阵的特征值为、-3，则 396．已知为四元方程组三个解，其中的秩， ,则方程组通解为。
7. 三维向量空间中向量在基，，下的坐标为。
8．二次型的矩阵为，则二次型。
9.设为实数域r上的线性空间，则的维数等于 2 .
10. 设二次型，则当取值范围为时，为正定二次型。
三、 二、计算下列行列式（每题6分，共12分）解：1、（2分，4分，6分）
2分，4分，6分）
三、（6分）设，其中，求．
解： ．2分，4分，6分）
四、（12分）解矩阵方程，其中．
法。一、解：由得2分。
6分，则． （10分，12分）
法二、，（8分，12分）
五、（12分） 设线性方程组，问当等于何值时，方程组（1）无解；（2）惟一解；（3）有无穷多解，并求出此时方程组的通解。
解4分。则当时，，有惟一解6分。
当时，，无解8分。
当时，，有无穷多个解，此时：，即，则12分。
六、（12分）设求的一个最大无关组和向量组的秩，并将其余向量由此最大无关组线性表示。
解： ，2分，4分，6分）
则此向量组的秩为3，可取最大无关组为。 （8分，10分，12分）七、（本题14分）求一正交变换，化二次型为标准形，并写出相应的标准形。
解：，令，可得， 4分。
当，得特征向量
令8分。当时，，得特征向量令10分。
则所求正交变换为，其中，标准形为． 14分。
八、证明题（每小题6分，共12分）
1) 设是齐次方程组的一个基础解系，证明：也是的基础解系；
证明：因为，所以方程组的解，同理也是的解； 2分。
又因为，而， 4分。
则向量组与等价，所以也是基础解系6分
(2)设，其中为n维非零列向量，证明：的充分必要条件是。
证明：因为3分。
所以6分。
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