1. 按自然数从小到大为标准次序，则排列的逆序数为，的逆序数。
为。2.四阶行列式中含有因子的项，.
3.按定义，四阶行列式有项，其中有项带正号，有项带负号。
a） （b）
（c） （d）
2.设，则的系数为 （ c ）
ab） （cd）
1. （因有两行相同）；
证证。因有两列相同）；
证递推法，按第一列展开，建立递推公式。又，于是。
解。2.，提示：利用范德蒙德行列式的结果。
解将行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将行列式左右翻转，由于上下翻转与左右翻转交换次数相等，故行列式于上下翻转再左右翻转其值不变。于是，利用范德蒙德行列式的结果，可得。
3.，其中未写出的元素都是。
解。即有递推公式。
又，利用这些结果递推得。
4.，其中。
解 5.问，取何值时，齐次线性方程组有非零解？
解方程组的系数行列式必须为0
故只有当或时，方程组才可能有非零解。
当，原方程组成为。
显然是它的一个非零解。
当，原方程组成为。
显然是它的一个非零解。
因此，当或时，方程组有非零解。
第一章练习题。
解利用对角线法则。
解利用对角线法则。
解--解从最后一行开始，后行减去前行。
5. 利用范德蒙德行列式计算四阶行列式。
解。把行列式的最后一行依次与前面的行交换，共交换三次得。
6.证明，其中。
证化行列式为下三角形行列式。
其中，，于是。
7. ，其中。
解。8.求满足下列方程的实数：
解将按第一行展开得，解得
9. 问取何值时，齐次线性方程组有非零解？
解方程组的系数行列式必须为0
故，并且当时，，，当时，，，当时，，，均是原方程组的非零解。 因此，当时，方程组有非零解。
第二章矩阵及其运算 （一）
一．填空题。
1.设， ，则； ；
2. 设，，若，则 1 ； 2 .
3. 设为3阶方阵，且，则= 4 ； 16 ； 4 .
4. 设，则 .
5. 设，而为正整数，则= 0 （零矩阵） .
6. 已知，则= .
二．选择题。
1. 设阶方阵满足关系式，其中为阶单位矩阵，则必有（ d ）.
（a） （b） (c) （d）
2. 设、均为阶方阵，满足，则必有c ）
a）或 （b） (c)或（d）
3. 设、都是阶方阵，则下列命题中正确的是d ）a）若且，则。 （b）若、都是对称阵，则是对称阵。
c)若不可逆，则、都不可逆。 （d）若可逆，则、都可逆。
三．计算与证明题。
1. 设， ，求及。解：
4. 设为阶方阵，且为对称阵，证明也是对称阵。
证明：已知：
则 从而也是对称阵。
第二章矩阵及其运算 （二）
一．填空题。
1. 设，，，则 -1 .
2. 设，（）则。
3. 设为三阶可逆矩阵，且，则。
4. 设，则 ；
5.设为阶方阵，为阶方阵，且，，，则。
6．设为3阶矩阵，且＝，则 .
二．选择题。
1. 设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，则必有（ a ）a） （b） （c） （d）
2. 设、都是阶方阵，则下列等式中正确的是d ）a）（b）（c）（d）
3. 已知为阶方阵，且满足关系式，则( )a） （b） （c） （d）
三．计算与证明题。
1. 求下列方阵的逆阵。
解：，2）解：, 故存在 .
2. 解下列矩阵方程。
解： .
解： .
解： 4) 设其中求。
解：由得。故而。
所以。3. 设， 其中， ,求。
解：故所以。而 故。
4. 设为阶方阵，并且满足，证明：及都可逆，并求及。
解：由已知得：，故可逆，且。
又，故可逆，且。
5. 设(为正整数),证明。
证明： 由。有 因此
第二章练习题。
1. 设为4阶方阵，求。
解。2. 已知，求。解。
3. 设，解矩阵方程（其中是矩阵的伴随矩阵）.解： 又。
4. 设三阶矩阵，满足关系式，且，求。
解：先化简，再计算，方程两边右乘得
整理得 ，而。
所以 5. 设为阶方阵，并且满足， 证明：及都可逆，并求及。
解：由已知得， 故可逆，且
又 故可逆，且。
可逆，且。6．设， 求及。
解 ，令 则。
故。7．设阶矩阵及阶矩阵都可逆，求．
解将分块为。
其中为矩阵，为矩阵。
为矩阵，为矩阵。
则。由此得到（、均可逆）
故 ．8. 设为维列向量，，令，证明是对称阵，且。
证明：因为，所以是对称阵。又。证毕。
第三章矩阵的初等变换与线性方程组（一）
一、 填空题。
1. 设为阶方阵，若有阶初等方阵，使，则
2. 设是矩阵，且的秩=2，而，则 2
3. 设四阶方阵的秩=2，则其伴随矩阵的秩为= 0二、 选择题。
1.从矩阵中划去一行得到矩阵，则、的秩的关系为（ a ）ab) cd)
2.在秩是的矩阵中（ c ）
a) 没有等于0的阶子式。
b) 没有等于0的阶子式。
c) 等于0的阶子式和等于0的阶子式都可能有。
d) 所有阶子式等于0
三、 计算与证明题。
1.把矩阵化为行最简形矩阵。
解： 2.用初等变换求解矩阵方程，其中。
解： 3.试利用矩阵的初等变换，求方阵的逆阵。
解： 4.求矩阵的秩。
解：秩为25.设，求为何值时可使等于：
解： 1） 当k=1时，r(a)=1
2） 当k=-2时，r(a)=2
3） 当且时，r(a)=3
第三章矩阵的初等变换与线性方程组（二）
一、求齐次线性方程组的解。
解： 二、求非齐次线性方程组的解。
解： 三、 设有，问为何值时，次方程组有唯一解、无解或无穷解？并在有无穷解时求其解。
解： 1）且时，有唯一解；
2）时，无解；
3）时，无穷解：
第三章练习题。
1. 求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量是。
1,0,1，0,0）和（1，-1,0,0,0）解： 2.求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：
解：秩为2，
解：秩为3，
3.非齐次线性方程组，当取何值时有解？并求出它的通解。
解： 1)当时，2)当时，4.设为矩阵，证明：
1）方程有解的充分必要条件是；
2）方程有解的充分必要条件是。
解：（1）有解。
必要性）显然，；另一方面，，故。
充分性）2）方程有解方程有解（由1）
5. 设为矩阵，证明：若，且，则。
证明： 因为，所以方程只有零解，即，即。
6.证明的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量，使。
证明：（充分）,另一方面，和又都是非零向量，故，因此。
必要）由于故，所以。
7.已知三阶矩阵，且的每一个列向量都是以下方程组的解：
1） 求的值；
2） 证明。
解：（1）设，由题设，知方程组（*）有非零解。故。故。
2）由，知，由，知，故。
又已知，因此从而。
线代第二章答案
习题二参 1.设，求。2 若满足，求 解 1 2 由得，所以。2.计算。解 1 3.已知两个线性变换，1 试把这两个线性变换分别写成矩阵形式 2 用矩阵乘法求连续施行上述变换的结果 解 1 写成矩阵形式为。2 连续施行上述变换有。4.某企业在一月份出口到三个国家的两种货物的数量以及两种货物的单位的 ...
线代第二章答案
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线代10答案
武汉科技大学。2009 2010 2线性代数期末试卷 本科b 解答与参考评分标准。一 单项选择题 每小题3分，共15分 cdcbc二 填空题 每小题3分，共15分 三 计算题 每小题10分，共50分 11 计算行列式。解 原式10分。12 已知，其中，求。解 5分。10分。13 求解齐次线性方程组。...