2.（2011安徽，9，4分）如图，四边形abcd中，∠bad=∠adc=90°，ab=ad=2，cd=，点p在四边形abcd的边上．若p到bd的距离为，则点p的个数为（ ）
a．1b．2c．3d．4
2011江西，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠bac=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线ab，ac之间，并使小棒两端分别落在两射线上。
活动一：如图甲所示，从点a1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，a1a2为第1根小棒。
数学思考：1）小棒能无限摆下去吗？答填“能”或“不能”）
2）设aa1=a1a2=a2a3=1.
= 度；若记小棒a2n-1a2n的长度为an（n为正整数，如a1a2=a1,a3a4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.
活动二：如图乙所示，从点a1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中a1a2为第1根小棒，且a1a2= aa1.
数学思考：3）若已经向右摆放了3根小棒，则用含的式子表示）
4）若只能摆放4根小棒，求的范围。
答案】答案】解：（1）能。
方法一：aa1=a1a2=a2a3=1， a1a2⊥a2a3，∴a1a3=，aa3=1+.
又∵a2a3⊥a3a4，∴a1a2∥a3a4.同理：a3a4∥a5a6，∴∠a=∠aa2a1=∠aa4a3=∠aa6a5，aa3=a3a4，aa5=a5a6，∴a2= a3a4=aa3=1+,a3=aa3+a3a5=a2+a3a5.
∵a3a5=a2,a3=a5a6=aa5=a2+a2=(+1)2.
方法二：aa1=a1a2=a2a3=1， a1a2⊥a2a3，∴a1a3=，aa3=1+.
又∵a2a3⊥a3a4，∴a1a2∥a3a4.同理：a3a4∥a5a6，∴∠a=∠aa2a1=∠aa4a3=∠aa6a5，a2=a3a4=aa3=1+,又∵∠a2a3a4=∠a4a5a6=90°，∠a2a4a3=∠a4a6a5，∴△a2a3a4∽△a4a5a6，∴，a3==(1)2.
an=(+1)n-1.
4)由题意得，∴15°＜≤18°.
6. （2011四川绵阳25，14）
已知△abc是等腰直角三角形，∠a=90°，d是腰ac上的一个动点，过c作ce垂直于bd或bd的延长线，垂足为e,如图1.
1)若bd是ac的中线，如图2，求的值；
2)若bd是∠abc的角平分线，如图3，求的值；
3)结合（1)、（2)，请你推断的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并**的值能小于吗？若能，求出满足条件的d点的位置；若不能，请说明理由。
答案】(1)设ad=x,则ab=2x,根据勾股定理，可得bd=x,∵△abd∽△cde, ,可得ce=x,所以=
2）设ad=x,根据角平分线定理，可知dc=x，ab=x+x,由。
勾股定理可知bd= △abd∽△cde，,∴ec=,2,3)由前面两步的结论可以看出，,所以这样的点是存在的，d在ac边的五等分点和点a之间。
7. （2011湖北武汉市，24，10分）（本题满分10分）
1）如图1，在△abc中，点d，e，q分别在ab，ac，bc上，且de∥bc，aq交de于点p．求证：．
2）如图，在△abc中，∠bac=90°，正方形defg的四个顶点在△abc的边上，连接ag，af分别交de于m，n两点．
如图2，若ab=ac=1，直接写出mn的长；
如图3，求证mn2=dm·en．
答案】（1）证明：在△abq中，由于dp∥bq，△adp∽△abq，dp/bq＝ap/aq．
同理在△acq中，ep/cq＝ap/aq．
dp/bq＝ep/cq．
3）证明：∵∠b＋∠c=90°，∠cef＋∠c=90°．
∠b=∠cef，又∵∠bgd=∠efc，[**：学科网zxxk]
△bgd∽△efc．
dg/cf＝bg/ef，dg·ef＝cf·bg
又∵dg＝gf＝ef，∴gf2＝cf·bg
由（1）得dm/bg＝mn/gf＝en/cf∴（mn/gf）2＝(dm/bg)·(en/cf)
mn2＝dm·en
如图1，在等边△abc中，点d是边ac的中点，点p是线段dc上的动点(点p与点c不重合)，连结bp. 将△abp绕点p按顺时针方向旋转α角（0°＜α180°），得到△a1b1p,连结aa1，射线aa1分别交射线pb、射线b1b于点e、f.
（1） 如图1，当0°＜α60°时，在α角变化过程中，△bef与△aep始终存在 ▲ 关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；
2）如图2，设∠abp=β 当60°＜α180°时，在α角变化过程中，是否存在△bef与△aep全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
3）如图3，当α=60°时，点e、f与点b重合。 已知ab=4，设dp=x，△a1bb1的面。
积为s，求s关于x的函数关系。
答案】（1） 相似
由题意得：∠apa1=∠bpb1=α ap= a1p bp=b1p
则 ∠paa1 =∠pbb1 =
pbb1 =∠ebfpae=∠ebf
又∵∠bef=∠aep
△bef ∽△aep
2）存在，理由如下：
易得：△bef ∽△aep
若要使得△bef≌△aep，只需要满足be=ae即可。
∠bae=∠abe
bac=60bae=
∠abe=β bae=∠abe
即α=2β+60°
3）连结bd，交a1b1于点g，过点a1作a1h⊥ac于点h.
∠b1 a1p=∠a1pa=60° ∴a1b1∥ac
由题意得：ap= a1 p ∠a=60°
paa1是等边三角形。
a1h=在rt△abd中，bd=
bg=（0≤x＜2）
10．(2011重庆綦江，24，10分)如图，等边△abc中，ao是∠bac的角平分线，d为ao上一点，以cd为一边且在cd下方作等边△cde,连结be.
(1) 求证：△acd≌△bce；
(2) 延长be至q, p为bq上一点，连结cp、cq使cp＝cq＝5, 若bc＝8时，求pq的长。[**：学科网]
答案】：(1)证明abc和△cde均为等边三角形，ac＝bc , cd＝ce
且∠acb＝∠dce＝60°
acd＋∠dcb＝∠dcb＋∠bce＝60°
acd＝∠bce
acd≌△bce
2）解：作ch⊥bq交bq于h, 则pq＝2hq
在rt△bhc中 ，由已知和（1）得∠cbh＝∠cao＝30°，∴ch＝4
在rt△chq中，hq＝
pq＝2hq＝6
如图（1），△abc与△efd为等腰直角三角形，ac与de重合，ab=ef=9，∠bac＝∠def＝90°，固定△abc，将△efd绕点a 顺时针旋转，当df边与ab边重合时，旋转中止。不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设de、df（或它们的延长线）分别交bc（或它的延长线）于g、h点，如图（2）.
1）问：始终与△agc相似的三角形有及 ；
2）设cg＝x，bh＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；
3）问：当x为何值时，△agh是等腰三角形？
解】（1）△hga及△hab；
（2）由（1）可知△agc∽△hab，即，所以，
3）当cg＜时，∠gac=∠h＜∠hac，∴ac＜ch
ag＜ac，∴ag＜gh
又ah＞ag，ah＞gh
此时，△agh不可能是等腰三角形；
当cg=时，g为bc的中点，h与c重合，△agh是等腰三角形；
此时，gc=，即x=
当cg＞时，由（1）可知△agc∽△hga
所以，若△agh必是等腰三角形，只可能存在ag=ah
若ag=ah，则ac=cg，此时x=9
综上，当x=9或时，△agh是等腰三角形．
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