15.1整式加减。
教材解读精华要义。
数学与生活。
如图15－1所示，用同样规格的黑、白两色的正方形瓷砖铺长方形地面，在第n个图形中，每一行有块瓷砖，每一列有块瓷砖，共有块瓷砖，其中黑色瓷砖共块，白色瓷砖共块。
思考讨论由图15－1可以看到，当n=1时，一横行有4块瓷砖，一竖列有3块瓷砖；当n=2时，一横行有5块瓷砖，一竖列有4块瓷砖；当n=3时，一横行有6块瓷砖，一竖列有5块瓷砖。综上可以发现：4-1=5-2=6-3=3，3-1=4-2=5-3=2.
即：一横行的瓷砖数等于n加上3，一竖列的瓷砖数等于n加上2.所以，在第n个图形中，每一横行共有(n+3)块瓷砖，每一竖列共有(n+2)块瓷砖，共有(n+3)(n+2)块瓷砖，其中白色瓷砖共(n+3-2)(n+2-2)=n(n+1)块，黑色瓷砖共有[(n+3)(n+2)-n(n+1)]块。
这就是用字母来表示数，即代数式，你还能举出这样用字母表示数的例子吗？
知识详解。知识点1 代数式。
用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
例如：5，a， (a+b)，ab，a2-2ab+b2等等。
知识点2 列代数式时应该注意的问题。
1)数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“·”
如：-2×a=-2a，3×a×b=3·ab，-2×x2=-2x2.
2)数字通常写在字母前面。
如：mn×(-5)=-5mn，3×(a+b)=3(a+b).
3)带分数与字母相乘时要化成假分数。
如：2×ab=ab，切勿错误写成“2ab”.
4)除法常写成分数的形式。
如：s÷x=.
思想方法小结在代数式里渗透了转化思想和推理思想。
1)转化思想表现为把实际问题中的数量关系转化为代数式或者给出代数式实际背景。
2)推理思想表现为用所学的知识去推导未知量，求代数式的值等。
知识点3 代数式的值。
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
例如：求当x=-1时，代数式x2-x+1的值。
解：当x=1时，x2-x+1=12-1+1=1.
当x=1时，代数式x2-x+1的值是1.
知识规律小结 (1)对于一个代数式来说，当其中的字母取不同的值时，代数式的值一般也不相同。
2)求代数式的值的方法有许多，要灵活选取方法，后面我们会给出求代数式的值的方法。例如：直接求值法、隐含条件求值法、整体代入法、换元法等等。
知识点4 单项式及相关概念。
像4x，υt，6a2，a3，-n，2πr，它们都是数或字母的积，这样的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
知识规律小结 (1)圆周率π是常数，如2πr的系数是2π，次数是1；πr2的系数是π，次数是2.
2)当一个单项式的系数是1或-1时，通常省略不写系数，如a2bc，-abc等。
3)代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如1x2y写成x2y.
知识点5 多项式及相关概念。
1)几个单项式的和叫做多项式。例如：a2-ab+b2，mn-3等。
2)在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项。如：多项式x2-3x+2，它的项分别是x2，-3x，2，常数项是2.
3)一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。如：x2y-3x2y2+4x3y2+y4是五次四项式，最高次项是4x3y2.
4)单项式与多项式统称整式。
知识规律小结 (1)在确定多项式的项的时候，要连同它前面的符号。例如：多项式x2-3x-2的项分别为x2，-3x，-2.
2)多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，例如：x4-x3y+x2y2-xy3+y4-1是四次六项式，x2-2是二次二项式，3x+2是一次二项式。
3)单项式与多项式都是整式。
知识点6 同类项。
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。所有的常数项都是同类项。
知识点7 合并同类项及法则。
.把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
.法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母指数不变。
知识规律小结判断同类项及合并同类项可以概括为下列口诀：同类项，需判断，两相同，是条件；合并时，需计算，系数加，两不变。其中，“两相同”是指：
①两个单项式含有的字母相同；②相同字母的指数也分别相同；“两不变”是指所含字母不变，相同字母的指数不变。同时，在判断同类项时，要注意到“两无关”.即：
①与字母顺序无关，如a2b和ba2是同类项(依据是乘法交换律)；②与系数无关，如3x2和-2x2是同类项。
知识点8 去括号法则。
括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，原括号里各项的符号都要改变。
知识点9 整式加减法法则。
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项。
典例剖析师生互动。
基本概念题。
本节有关基本概念的题目有以下几个方面：(1)确定单项式的系数和多项式的项；(2)同类项的判断；(3)利用去括号法则、乘法分配律、合并同类项进行整式的加减。
例1 写出下列单项式的系数。
1)-18a2b；(2)xy；(3)；(4)-x；(5)23x4.
分析)用系数的定义进行判断。
解：(1)-18a2b的系数是-18；(2)xy的系数是1；
3)的系数是-；（4）-x的系数是-1；
5)23x4的系数是23，即8.
例2 下列多项式分别是哪几项的和？分别是几次几项式？
1)3x2y2-5xy2+x5-6；(2)-s2-2s2t2+6t2；(3) x-by3.
分析)用多项式的定义来判别。
解：(1)3x2y2-5xy2+x5-6是3x2y2，-5xy2，x5，-6四项的和。是五次四项式。
2)-s2-2s2t2+6t2是-s2，-2s2t2，6t2三项的和，是四次三项式。
3) x-by3是x，-by3两项的和，是四次二项式。
例3 说明代数式4a2b2c与8a3xy的相同点和不同点。
解：相同点是：(1)都是数字与字母的积；(2)字母指数的和都是5次；(3)都有3个字母；(4)系数都是正整数；(5)都含有字母a.
不同点是：(1)所含的字母不完全相同；(2)系数不相等；(3)它们不是同类项；(4)尽管都含字母a,但字母a的指数不相同。
说明】 此题是典型的结论开放性试题，本题的结论不惟一，只要给出的答案符合题意，正确即可。
例4 选择题。
1)下列各组中的两项属于同类项的是( )
a. x2y与-xy3b.-8a2b与5a2c
c. pq与-qpd.19abc与-28ab
2)下列式子中，正确的是( )
a.3x+5y=8xyb.3y2-y2=3
c.15ab-15ab=0d.29x3-28x3=x
分析) (1)题是利用同类项的定义进行判断。(2)题是用同类项的定义与合并同类项的法则进行判断。
答案：(1)c (2)c
例5 将下列各式合并同类项。
1)11x2+4x-1-x2-4x-5；
2)- ab3+2a2b-a3b-2ab2-a2b-a3b.
分析) 主要利用合并同类项的法则进行化简。
解：(1)11x2+4x-1-x2-4x-5
(11x2-x2)+(4x-4x)-(1+5)
10x2-6.
2)- ab3+2a2b-a3b-2ab2-a2b-a3b
=-ab3+(2a2b-a2b)-(a3b+a3b)-2ab2
-ab3+a2b-a3b-2ab2
基本知识应用题。
本节知识的基本应用包括：(1)用字母表示只有一定意义的数；(2)求代数式的值并推断代数式所反映的规律；(3)利用去括号法则、乘法分配律、合并同类项进行整式加减运算。
例6 如图15－2所示，请说出第n个图形中笑脸的个数。
分析)经过观察，发现后一个图形中笑脸的个数比前一个图形多两个，或者说图形中笑脸的个数是n的2倍。
解：第n个图形中笑脸的个数可以表示为2n.
学生做一做如图15－3所示，用代数式表示图中阴影部分的面积。
老师评一评图中阴影部分的面积等于圆的面积减去三角形的面积，因此只需知道圆的半径和三角形的底边与高即可。∴图中阴影部分的面积为πr2-r2.
例7 国家规定个人发表文章或出版著作所获稿费应纳税，其计算方法是：(1)稿费不高于800元不纳税；(2)稿费高于800元，但不高于4000元，应缴纳超过800元的那一部分的20％的税；(3)稿费高于4000元，应缴纳全部稿费的20％的税。张教授出版了一本著作获得y元稿费，有三位同学用代数式表示出了张教授缴纳的税费，第一位同学列出的代数式是“0”表示 ，第二位同学列出的代数式是“20％(y-800)表示 ，第三位同学列出的代数式是“20％y”表示 .
分析) 观察代数式的特点，说出它们所反映的实际背景，三位同学根据稿费的纳税情况，列出三个不同的代数式，税费为“0”，说明张教授的稿费不高于800元，不需要纳税；税费为“20%(y-800)”，说明张教授的稿费高于800元，但不高于4000元；税费为“20％y”，说明张教授的稿费高于4000元，应缴纳全部稿费20％的税，即20％y.
答案：张教授的稿费不高于800元张教授的稿费高于800元，但不高于4000元张教授的稿费高于4000元。
例8 按图15－4所示的程序计算，若开始输入的x值为3，则最后输出的结果是 .
分析)利用数值转换器求代数式的值，当代数式的值不大于200时，所得代数式的值再进入运算程序，如此往复，直到所得代数式的值超过200才能输出结果，因此，最后输出的结果是231.
学生做一做按图15－5所示的程序计算代数式的值，若输入的x值为，则输出的代数式的值y为( )
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