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一。 本周教学内容：
证明。1. 证明的认识。
2. 用推理方法研究三角形包括：（1）等腰三角形，（2）角平分线，（3）线段的垂直平分线，（4）逆命题、逆定理。
二。 教学过程：（知识点回顾）
1. 用公理、定理作为逻辑推理证明的依据，从而证明新的命题成立，常用公理如下：
（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边、或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等。
2. 等腰三角形：
（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”，这是识别三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法。
（2）重要性质：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合，简写成“等腰三角形的三线合一”。
3. 角平分线：
（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
4. 线段的垂直平分线上。
（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
（2）到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
典型例题】例1. “三角形内角和180°”的证明。
方法1：方法2：
方法3：方法4：
（注：通过作平行线将角转化），证明过程略。
例2. “四边形的内角和等于360°”的证明。
常用的方法是将四边形转化成三角形，利用三角形的内角和：
也可以通过平移角的方法证明：
de∥bc，fh∥ab
∠4＝∠6＝∠b
∠3＝∠c∠5＝∠a
∠a＋∠b＋∠c＋∠adc＝∠5＋∠4＋∠3＋∠adc＝360°
例3. 如图，已知：ab∥de，观察∠a、∠c、∠d的关系如何？
图1：方法一：延长cd交ab于f
∵ab∥de
∴∠1＝∠cde
又∵∠1＝∠a＋∠c
∴∠cde＝∠a＋∠c
方法二：延长ed交ac于f
∵ab∥de
∴∠cfd＝∠a
又∵∠cde＝∠c＋∠cfd
∴∠cde＝∠c＋∠a
方法三：过c作cf∥ab
∵ab∥de，∴de∥cf
∴∠1＋∠d＝180°
∠1＋∠2＋∠a＝180°
∴∠d＝∠2＋∠a
图2：方法一：∵ab∥de
∴∠a＝∠dea＝∠d＋∠c
方法二：延长ba、cd交于f
∵ab∥de
∴∠f＝∠edc
∴∠bac＝∠f＋∠c＝∠edc＋∠c
方法三：解略。
此题是平移角的训练，关键体会只需移动角的位置。
例4. 已知ad⊥cd，∠c＝15°，∠abe＝30°，求∠a。
解：方法一：延长ab交cd于f
则∠abe＝∠cbf＝30°
∴∠afd＝∠c＋∠cbf＝15°＋30°＝45°
∵∠adf＝90°
∴∠a＝180°－∠adf－∠afd＝45°
方法二：过b作bf∥cd交ad于f
则∠ebf＝∠c＝15°，∠bfa＝∠cda＝90°
∴∠abf＝∠abe＋∠ebf＝45°
∴∠a＝180°－∠abf－∠afb＝45°
例5. 已知：如图，ab∥cd，be、ce分别是∠abc、∠bcd的平分线，点e在ad上。
求证：bc＝ab＋cd
（分析：一般证明线段和差时有截长法，补短法）
方法一：截长法（因为要证bc＝ab＋cd，**段bc上截取bf＝ab，然后证明cf＝cd，或在bc上截取cf＝cd，再证明bf＝ab。）
如上图，在bc上截取bf＝ab，连结ef
在△abe和△fbe中。
∴△abe≌△fbe（sas）
∴∠a＝∠efb
∵ab∥cd
∴∠a＋∠d＝180°
又∵∠bfe＋∠efc＝180°
∴∠efc＝∠d
在△efc和△edc中。
∴△efc≌△edc（aas）
∴fc＝cd
∴bc＝bf＋fc＝ab＋cd
证法：补短法（延长be交cd的延长线于g，如图，再证明dg＝ab，从而转证bc＝cg，则由△bce≌△gce可得，再证△abe≌△dge可有结论dg＝ab。）
∵ab∥cg
∴∠abe＝∠g
又∵∠abe＝∠gbc
∴∠g＝∠gbc
在△gec和△bec中。
∴△gec≌△bec（aas）
∴eg＝eb，cg＝bc
在△abe和△dge中。
∴△abe≌△dge（asa）
∴ab＝dg
∴bc＝cg＝cd＋dg＝cd＋ab
例6. 如图，四边形abcd中，ab＝8，bc＝1，∠dab＝30°，∠abc＝60°且四边形abcd的面积为，求ad的长。
解：将不规则四边形转化成特殊三角形，延长ad、bc交于e
∵∠a＝30°，∠b＝60°
∴∠e＝180°－∠a－∠b＝90°
∵ab＝8由勾股定理：
∵bc＝1，∴ce＝be－bc＝3
又。例7. 已知：ab＝ac，d是bc上任意一点，de⊥ab。
求证：∠a＝2∠edb
解：方法一：利用等腰三角形的性质（即三线合一）
过a作af⊥bc于f
∵ab＝ac，∴af平分∠bac
即。∵∠b＋∠1＝90°
de⊥ab于e
∴∠b＋∠bde＝90°
方法二：将△bde沿de翻折，得到△def
∵ab＝ac
则∠dfb＝∠b＝∠c，∠bdf＝2∠bde
∴△bdf为等腰三角形，且∠bdf＝∠a
∴∠a＝2∠bde
方法三：将ba延长至f使af＝ab，连结ac（即倍长腰）
∵ab＝ac，∴af＝ac
即∠bcf＝90°
∵de⊥ab，∴∠bed＝90°
又∠b＝∠b，∴△bcf∽△bed
即∠bac＝2∠bde
将此题推广，已知ab＝ac，d是ac上任意一点，de⊥ab
如图：将ed、bc延长交于f，则∠a＝2∠f
方法一：方法二：
方法三：例8. 已知bd、ce是∠abc、∠acb的平分线，若∠a＝60°。
求证：（1）bc＝be＋cd
2）od＝oe
证明：此题隐含的结论：（1）∠doc＝∠eob＝60°，（2）aeod四点共圆，（3）o为内心。
先证od＝oe
方法1：连结ao
∵bd、ce分别是∠abc、∠acb的平分线。
∴∠doc＝∠eob＝60°
∴∠eod＝120°
∴∠aeo＋∠ado＝180°
∴a、e、o、d四点共圆。
∵o为△abc的内心。
∴ao平分∠ead
∴oe＝od
方法2：∵o为△abc的内心。
∴ao平分∠eod，可以将△aod沿ao翻折，得到△afo，则。
od＝of，∠ado＝∠afo
由方法1得：∠aeo＋∠ado＝180°
又∠afo＋∠efo＝180°
∴∠aeo＝∠efo
∴oe＝of
∴od＝oe
证明bc＝be＋cd也有两种方法：
方法1：在bc上截取bh＝be，连结oh，先得出△boe≌△boh
oe＝oh，∠1＝∠2＝60°
再证△cod≌△coh，得到ch＝cd
∴bc＝bh＋ch＝be＋cd
方法2：将△boe沿bo翻折得到△boh，然后再证△coh≌△cod。
（证明略）例9. 已知：∠bac＝90°，ad⊥bc，be平分∠abc，eg⊥bc，gh⊥ac。
求证：dg＝gh
分析：先看一个基本图，由双垂直，ad⊥bc，∠bac＝90°
再加角平分线be平分∠abc，必有等线段ae＝af
由角平分线性质得：ae＝eg
最后能知四边形afge为菱形。
方法1：连结fg、ag
∵∠bac＝90°，∴abc＋∠c＝90°
∵ad⊥bc，∴∠adb＝90°
∴∠1＋∠abc＝90°
∴∠1＝∠c
∵be平分∠abc，∴∠2＝∠3
∵∠4＝∠1＋∠2，∠5＝∠3＋∠c
∴af＝ae
又∵eg⊥bc，∴ae＝eg且eg∥af
∴af＝ae＝fg
∴四边形afge为菱形。
∴ag平分∠fae
∵gh⊥ac，gd⊥ad
∴dg＝gh（角平分线的性质）
方法2：由平行、角平分线及等线段中两个条件成立，必有第三个结论成立，如图，连结ag。
∵be平分∠abc，∠bac＝90°，eg⊥bc
∴ae＝eg
又∵ad⊥bc
∴ad∥eg
∵dg⊥ad，gh⊥ac
∴dg＝gh
模拟试题】1. 如图所示，四边形abcd中，∠b＝∠d＝90°，ae平分∠a，cf平分∠c。
求证：ae∥cf
2. 已知：如图所示，△abc中，ab＞ac，ad平分∠bac，ef⊥ad于g，交ab于e，交ac于f，交bc的延长线于h。
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