第二讲绝对值。
一、 知识要点。
1、 绝对值的代数意义；
2、 绝对值的几何意义： （1）|a|、（2）|a-b|；
3、 绝对值的性质：
1）|-a|=|a|, a|0 , a|a； （2）|a|2=|a2|=a2；
3）|ab|=|a||b4）（b0）；
4、绝对值方程：
1） 最简单的绝对值方程|x|=a的解：
2）解题方法：换元法，分类讨论法。
二、绝对值问题解题关键：
1）去掉绝对值符号； （2）运用性质； （3）分类讨论。
三、例题示范。
例1 已知a0，化简|2a-|a||。
提示：多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。
例2 已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a，则a+b满足条件的a有几个？
例3 已知a、b、c在数轴上表示的数如图，化简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|2a|。
例4 已知a、b、c是有理数，且a+b+c=0，abc0，求的值。
注：对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。
例5 已知：
例6 已知，化简：m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。
例7 已知|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围。
提示：1、根轴法；2、几何法。
例8 是否存在数x,使|x+3|-|x-2|7。
提示：1、根轴法；2、几何法。
例9 m为有理数，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。
提示：结合几何图形，就m所处的四种位置讨论。
结论：最小值为8。
例10（北京市2024年高一数学竞赛题）设x是实数，且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f（x）的最小值等于___6___
例11 （2024年扬州初一竞赛题）设t=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，t的最小值是多少？
解由已知条件可得：t=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.
当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时t最小；当x=15时，t=30-15=15，故t的最小值是15.
例12若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间。
证设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|.
|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.
ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0. ∴b|-1=＞0，∴|b|＞1.
同理可证|a|＞1. ∴a、b都不在-1与1之间。
例13 某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑台，现在为使各校电脑数相等，各调几台给邻校：一小给二小、二小给三小、三小给四小、四小给五小、五小给一小。若甲小给乙小3台，即为乙小给甲小三台，要使电脑移动的总台数最少，应怎样安排？
例14 解方程。
1）|3x-1|=82） |x-2|-1|=
3）|3x-2|=x+4 （4）|x-1|+|x-2|+|x+3|=6.
例15（2024年加拿大中学生竞赛题）求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解。
分析解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令x+3=0,x-1=0，分别得x=-3,x=1,-3,1将全部实数分成3段：x＜-3或-3≤x＜1或x≥1，然后在每一段上去绝对值符号解方程，例如，当x＜-3时，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x=-5满足x＜-3，故是原方程的一个解，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解，这种方法叫做“零点”分段法，x=-3，x=1叫做零点。
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