圆与相似综合专题。
1、 如图，在⊙o中，弦ab、cd相交于ab的中点e，连ad并延长至点f，使df=ad，连bc、bf。（1）求证：△cde∽△afb；
2）当=时，求的值。
ceb=∠aed,ae=eb,ad=df,ab=2ae,af=2ad,ae:ab=ad:af,∠ead=∠daf,ead∽△baf,aed=∠abf=∠ced,bce=∠baf,(同弧所对圆周角相等),故∠cbe=∠afb,因此△cbe∽△afb(aaa)；
be/fb=cb/af=cb/(2ad),cb/ad=2be/fb=2*5/8=5/4.
2、平行四边形abcd中，以ab为直径的⊙o交cd于m，交ad于e，且am平分∠bad，连接be交am于f。
1）求证：dm=cm；
2）若ad=5，am=8，求mf的长。
dm=cm ao=bo
则：ad//om//bc
ad=om=5
o内，ab=2om=2*5=10
三角形abm是rt△ ∠amb=90°
三角形abm中，am=8
则：bm^2=ab^2-am^2
则：bm=6
因为：am平分∠bad 和ad//om
所以：∠dam=∠oam=∠amo
而：○o内 ∠aeb=90°
则：om⊥be
mfb内：∠fmb=90°由于直角三角形非直角和为90°
则：∠amo=∠mbf=t（设为t）
abm中：tant=mb/am=6/8=3/4
mfb中：tant=mf/mb=mf/6
则：mf/6=3/4 mf=9/2.
3.如图，⊙o是△abc外接圆，ab=ac=10，bc=12，p是弧上一动点，过点p作bc的平行线交ab延长线与点d.
1）当点p在什么位置时，dp是⊙o的切线？说明理由；
2）当dp是⊙o的切线时，求dp的长。
（1）当p是bc中点时，dp是⊙o的切线。理由如下1分。
ab=ac，∴
又。pa是⊙o的直径。
又ab=ac，∴pa⊥bc.
dp//bc，∴pd⊥ap.
dp是⊙o的切线。
2）连接ob，设pa交bc于点e.
由垂径定理得，be=.
在rt△abe中，据勾股定理，.
设⊙o的半径为r，则oe=8-r.
在rt△obe中，.
解得r=.4.如图，p是⊙o直径ab延长线上的一点，过p作直线分别交⊙o于c、d两点，弦df⊥ab于h点，cf交ab于点e.
1)求证：de＝ef；
2)若de⊥cf，∠p＝15°，⊙o半径为4，求cf的长。
解：(1)ea垂直平分df，故de＝ef.
2)△def是等腰直角三角形，∴∠dcf＝∠p+450＝600，连of，则∠hof＝600，∴oh＝of＝2，dh＝hf＝，∴de＝ef＝，在rt△cde中，ce＝＝，cf＝+
5.如图，△abc内接于⊙o，ab=ac，cd平分∠acb交⊙o于点d，交ab于点f，连接ao并延长交cd于点e．
1)求证：ad=de；
2)若df=ce=2，求的值．
(1)证明oa平分∠bac；(2)设ef=x．∵△dca∽△daf，∴，即．解之得，∴．
6、如图，ab为半圆o的直径，点c在半圆o上，过点o作bc的平行线交ac于点e，交过点a的直线于眯d，且∠d=∠bac。
1）求证：ad是半圆o的切线；
2）若bc=2，ce=，求ad的长。
解析 （1）要证ad是半圆o的切线只要证明∠dao=90°即可；
2）由两组角对应相等的两个三角形相似可得到△doa∽△abc，据相似三角形的对应边成比例可得到ad的长．
解答 （1）证明：∵ab为半圆o的直径，∠bca=90°．
又∵bc∥od，oe⊥ac．
∠d+∠dae=90°．
∠d=∠bac，∠bac+∠dae=90°．
ad是半圆o的切线．
2）解：∵bc∥od，△aoe∽△abc，ba=2ao，
又ce= ac=2ce=2
在rt△abc中，ab=
∠d=∠bac，∠acb=∠dao=90°，△doa∽△abc．
即ad= 7、如图，已知ab为⊙o的直径，弦cd⊥ab，垂足为h。
1）求证：ahab=ac2；
2）若过a的直线与弦cd（不含端点）相交于点e，与⊙o
相交于点f，求证：aeaf=ac2；
3）若过a的直线与直线cd相交于点p，与⊙o相交于点q，若ah=1，ab=4，请直接写出apaq的值（不必写过程）
1）连接cb，证明△cah∽△bac即可；
2）连接cf，证△aec∽△acf，根据射影定理即可证得；
3）由（1）（2）的结论可知，apaq=ac2成立．
解答：证明：（1）连接cb，ab是⊙o的直径，∴∠acb=90°，而∠cah=∠bac，∴△cah∽△bac，即ahab=ac2；
2）连接fb，易证△ahe∽△afb，aeaf=ahab，aeaf=ac2；
也可连接cf，证△aec∽△acf）
3）结论apaq=ac2成立（同理）．
8、如图，点a、b、c、d在⊙o上，ab=ac，ad与bc相交于点e，ae=ed，延长db到点f，使fb=bd，连接af。
1）证明：△bde∽△fda；
2）试判断直线af与⊙o的位置关系，并给出证明。
1）根据题意可得出
∠adb=∠adf，根据一个角相等，夹这个角的两边对应成比例从而得出△bde∽△fda；
2）连接oa，ob，oc，由ab=ac，得出∠oab=∠oac，又ob=oc，从而得出ao⊥bc即可；
3）直线af与⊙o相切．由△bde∽△fda，得出∠ebd=∠afd，可得出be∥fa，根据ao⊥be，可得出ao⊥fa，即直线fa与⊙o相切．
解答：证明：（1）在△bde和△fda中，fb＝
bd，ae＝
ed，∴（2分）
又∵∠bde=∠fda
△bde∽△fda…（5分）
2）连接oa，并连接ob和oc，如下图所示，ab=ac，oa=oa，ob=oc，△oab≌△oac，∠oab=∠oac．…（6分）
又∵ob=oc
ao⊥bc…（7分）
3）直线af与⊙o相切．…（8分）
由△bde∽△fda，那么∠ebd=∠afd．
be∥fa…（9分）
由ao⊥be知，ao⊥fa，直线fa与⊙o相切．…（11分。
9、如图，四边形abcd内接于⊙o，ac为直径，bd平分∠adc，bd与oc相交于e。
1）求证：bc2=bebd；
2）若直径ac=6，be∶ed=3∶1，求oe的值。
1.证明：∵∠bce=∠adb=∠cdb;∠cbe=∠dbc.
⊿cbe∽⊿dbc,bc/be=bd/bc,bc=bexbd。
2.解：∵∠adb=∠cdb.
弧ab=弧bc,连接ob,则ob垂直ac.
oc=ob=ac/2=3√2,则bc=oc+ob=36.
be:ed=3:1,设be=3x,则bd=4x.
bc=bexbd(已证),即36=3x*4x=12x.
x=√3,be=3x=3√3.故oe=√(be-ob)=3.
10.已知：如图，在△abc中，∠a=45°，以ab为直径的⊙o交ac于点d，且ad=dc，co的延长线交⊙o于点e，过点e作弦ef⊥ab，垂足为点g．
1）求证：bc是⊙o的切线；
2）若ab=2，求ef的长．
1）证明：连接bd，ab为⊙o的直径，∠adb=90°，bd⊥ac，ad=cd，ab=bc，∠a=∠acb=45
∠abc=90°，bc是⊙o的切线；
2）解：∵ab=2
bo=1，ab=bc=2，co=
ef⊥ab，bc⊥ab，ef∥bc，△ego∽△cbo，eg=
ef=2eg=
11、如图，已知，已知△abc，以边bc为直径的圆与边ab交于点d，点e为弧bd的中点，af为△abc的角平分线，且af⊥ec。
1）求证：ac与⊙o相切；
2）若ac=6，bc=8，求ec的长。
证明：（1）如图，连接be，af是∠bac的角平分线，af⊥ec，∠ach=∠ahc．
∠bhe=∠ahc，∠ach=∠bhe．
e是 的中点，∠ebd=∠bce．
bc是⊙o的直径，∠bec=90°．（3分）
∠ebh+∠bhe=90°．
∠bce+∠ace=90°．
ac是⊙o的切线．（4分）
解：（2）在rt△abc中，ac=6，bc=8，ab=10．
又∵∠ach=∠ahc，ah=ac=6．
bh=ab-ah=10-6=4．（6分）
∠ebh=∠ecb，△ebh∽△ecb．
在rt△ebc中，ec=2eb，bc=8，ec2+eb2=bc2ec=
12、如图，⊙o与⊙a相交于c、d两点，a、o分别是两圆的圆心，△abc内接于⊙o，弦cd交ab于点g，交⊙o的直径ae于点f，连接bd。、
1）求证：△acg∽△dbg；
2）求证：ac2=agab。
3）若⊙a、⊙o的直径分别为，且cg∶cd=1∶4，求ab和bd的长。
13、如图，在rt△abc中，bc=9，ca=12，∠abc的平分线bd交ac于点d，de⊥db交ab于点e。
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