图形的旋转。
一：教学目标：
1．理解图形的旋转及旋转中心、旋转角的概念．
2．会识别旋转对称图形，求旋转对称图形的旋转角，并能运用旋转变换解决一些有关图形变换问题．
3．灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．
二：教学重难点：
重点：旋转前后图形全等。
难点：旋转问题中要抓住旋转过程中不变的特殊角，由此构造特殊三角形。
三：基础知识：
1.旋转的定义：在同一平面内，把一个图形绕着某一点由一个位置旋转一定的角度到另一个位置的运动，叫做旋转，其中这个点叫做这种运动的旋转中心，这个角度叫做旋转角，旋转前后重合的点叫做对应点。
说明：旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为主体图形。因此，“在同一平面内”这一条件不可忽视。
2.旋转的性质：
1）对应点到旋转中心的距离___
2）每组对应点与旋转中心连线的夹角相等，等于___
3）旋转前后的两个图形是___的；（对应线段___
3．旋转对称图形：一个图形绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后与自身重合，这个图形就叫做旋转对称图形。
4.简单的旋转作图步骤：
1）连点：将原图中的一个关键点与旋转中心连接。
2）转角：将（1）中所连接的线段绕旋转中心沿指定的方向旋转一定的旋转角，得到这个关键点的对应点。
3）连接：重复（1）（2），将原图中所有关键点的对应点找出来，再按原图中的顺序，依次连接成图。
5.中心对称图形是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形，比如正三角形是旋转对称图形，担不是中心对称图形（边数为奇数的正多边形是旋转对称图形，但不是中心对称图形；边数为偶数的正多边形既是旋转对称图形又是中心对称图形）
四：典型例题。
例1．如图，已知p是正方形abcd内一点，将△abp绕点b顺时针旋转，与△重合，若，(1)猜想△的形状，并说明理由；
2)求△的面积；
练习1.在中，，把绕顶点c逆时针旋转，得到，ad交ec于n，be交ac于m，连接ab，de，mn；
1）判断的形状，请说明理由；
2）试确定mn与bd的位置关系，请说明理由；
练习2. 16、如图所示，正方形的边在正方形的边上，连接．
1）求证：．
2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
例2．（2008，黑龙江）已知正方形abcd中，∠man=45°，∠man绕点a沿顺时针旋转，它的两边分别交cb，dc（或它们的延长线）于点m，n，当∠man绕点a旋转到bm=dn时（如图1），易证bm+dn=mn．
1）当∠man绕点a旋转到bm≠dn时（如图2），线段bm，dn和mn之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
2）当∠man绕点a旋转到如图3所示的位置时，线段bm，dn和mn之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
练习1.如图1，若△abc和△ade为等边三角形，m，n分别eb，cd的中点，易证：cd=be，△amn是等边三角形．
（1）当把△ade绕a点旋转到图2的位置时，cd=be是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当△ade绕a点旋转到图3的位置时，△amn是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当ab=2ad时，△ade与△abc及△amn的面积之比；若不是，请说明理由．
练习2.已知正方形abcd中，e为对角线bd上一点，过e点作ef⊥bd交bc于f，连接df，g为df中点，连接eg，cg．
1）求证：eg=cg；
2）将图①中△bef绕b点逆时针旋转45，如图②所示，取df中点g，连接eg，cg．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
3）将图①中△bef绕b点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
例3.把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板绕点顺时针旋转得到△d1ce1（如图乙）．这时与cd1相交于点，与d1e1相交于点．
1）求的度数；
2）求线段的长；
3）若把三角形绕着点顺时针再旋转得，这时点在的内部、外部、还是边上？说明理由．
练习。把两个全等的等腰直角三角板△abc和△efg（其直角边长均为4）叠放在一起（如图1），且使三角板efg的直角顶点g与三角板abc的斜边中点o重合．现将三角板efg绕o点顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：0°＜α90°），四边形chgk是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图2）．
1）在上述旋转过程中，bh与ck有怎样的数量关系？
2）四边形chgk的面积有何变化？证明你发现的结论．
例4.（2023年济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点。现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.
1）求边在旋转过程中所扫过的面积；
2）旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数；
3）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论。
五：课后练习。
一、选择题。
1．时钟中面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是（ ）
（a）此时分针指向的数字是3 (b) 此时分针指向的数字是4
c) 此时分针指向的数字是6 (d) 分针转动了，但时针却未作改变。
2．如图，o是边长为的正方形abcd的中心，将一块半径足够长，圆心为直角的扇形纸板的圆心放在o点处，并将纸板的圆心绕o旋转，求正方形abcd的边被纸板覆盖部分的面积为（ ）
a） （b） （c） （d）
3.如图，△abc是等边三角形，d为bc边上的点，∠bad＝15°，△abd经旋转后到达△ace的位置，那么旋转了。
(a)75b)60c)45d)15°
4.如图，△abc绕着点o按顺时针方向旋转90°后到达了△cde的位置，下列说法中不正确的是。
(a)线段ab与线段cd互相垂直 (b)线段ac与线段ce互相垂直
(c)线段bc与线段de互相垂直 (d)点c与点c是两个三角形的对应点
5.如图，在直角△abc中，∠c＝90°，∠a＝35°，以直角顶点c为旋转中心，将△abc旋转到△a'b'c 的位置，其中a'、b'分别是a、b的对应点，且点b在斜边a'b'上，直角边ca'交ab于点d，这时∠bdc的度数是。
(a)70b)90° (c)100d)105°
二、填空题。
1．已知矩形abcd的一边ab=2 cm，另一边ad=4cm，则以直线ad为轴旋转一周所得到的图形是 ，其侧面积是cm2．
2．如图，p是正方形abcd内一点，将△pcd绕点c逆时针方向旋转后与△重合，若pc=1，则。
3．如图，直线ae∥bd，点c在bd上，若ae=5，bd=8，△abd的面积为16，则△ace的面积为 ．
4.如图，直角△aob顺时针旋转后与△cod重合，若∠aod＝128°，则旋转角度是。
5.如图，已知∠ead＝32°，△ade绕着点a旋转50°后能与△abc重合，则∠bae度。
三、解答题：
1．如图所示，已知p是正方形abcd内一点，以b为旋转中心，把△pbc沿逆时针方向旋转90得到△p′ba，连结pp′，求p′pb的度数。
2．如图，p是正方形abcd内的一点，ap=1，pb=，∠apb=135°．求pc的长．
3．如图，已知矩形纸片abcd，折叠它的一边bc，使c点落在ab边上的处，折痕为bg；然后把△adg沿着ag翻折，使点d落在矩形内部的处．如果再沿着翻折△，那么点g恰好落在ab边上的点处．
1)试探索，△，的形状并说明原因．
2)当bc=3时，求矩形纸片abcd的面积．
4．如图，已知△abc是等腰直角三角形，∠c=90°，1）将一个三角板的45°角的顶点和点c重合，使这个角落在∠acb的内部，两边分别与斜边ab交于ef两点，然后将这个角绕着点c在∠acb的内部旋转，观察在ef的位置发生变化时，ae、ef、fb中最长线段是否始终是ef？写出观察结果；
2）探索：ae、ef、fb三条线段能否组成以ef为斜边的直角三角形？
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