第二章能量守恒动量守恒。
选择题。2－1 有一劲度系数为的弹簧(质量忽略不计),垂直放置，下端悬挂一质量为的小球。现使弹簧为原长，而小球恰好与地面接触。
今将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚脱离地面为止，在上提过程中外力做的功为a ）
(ab);cd).
2－2 一弹簧长，劲度系数为，上端挂在天花板上，当下端吊一小盘后，长度变为。然后在盘中放一物体，使弹簧长度变为。放物后，在弹簧伸长的过程中，弹性力所做的功为 （ c ）
ab);cd).
2－3 如图所示，一单摆在点和点之间往复运动，就点、点和点三位置比较，重力做功的功率最大位置为 （ b ）
a) 点b) 点；
c) 点d) 三点都一样。
2－4 今有质量分别为、和的三个质点，彼此相距分别为、和。则它之间的引力势能总和为 （ a ）
(a); b);
c); d).
2－5 有下列几种情况：
1) 物体自由落下，由物体和地球组成的系统；
2) 使物体均匀上升，由物体和地球组成的系统；
3) 子弹射入放在光滑水平面上的木块，由子弹和木块组成的系统；
4) 物体沿光滑斜坡向上滑动，由物体和地球组成的系统。
机械能守恒的有 （ c ）
a) (1)、(3b) (2)、(4);
c) (1)、(4d) (1)、(2).
2－6 质量分别为和的两个质点，沿一直线相向运动。它们的动能分别为和，它们的总动量的大小为 （ b ）
ab);cd).
2－7 质量为的小球，以水平速度与竖直的墙壁作完全弹性碰撞。以小球的初速度的方向为轴的正方向，则此过程中小球动量的增量为d ）
ab) ;cd).
2－8 如图所示，质量为的弹性小球，自某高度水平抛出，落地时与地面发生完全弹性碰撞。已知在抛出后又跳回原高度，而且速度的大小和方向和刚抛出时相同。在小球与地面碰撞的过程中，地面给它的冲量的大小和方向为a ）
a),垂直地面向上；
b),垂直地面向上；
c),垂直地面向上；
d),与水平面成角。
2－9 一炮弹由于特殊原因，在弹道最高点处突然炸成两块，如果其中一块做自由落体下落，则另一块的着地点 （ a ）
a) 比原来更远b) 比原来更近；
c) 仍和原来一样d) 条件不足，不能判定。
2－10 在下列陈述中，正确的是a ）
a) 物体的动量不变，动能也不变；
b) 物体的动能不变，动量也不变；
c) 物体的动量变化，动能也一定变化；
d) 物体的动能变化，动量却不一定也变化。
2－11 如图所示，一光滑圆弧形槽放置于光滑的水平面上，一滑块自槽的顶部由静止释放后沿槽滑下，不计空气阻力，对这一过程，下列陈述正确的为c ）
a) 由和组成的系统动量守恒；
b) 由和组成的系统机械能守恒；
c) 由、和地球组成的系统机械能守恒；
d)对的正压力恒不作功。
2－12 如图所示，质量为的子弹，以的速率沿图示方向射入一原来静止的、质量为的摆中。摆线不可伸缩，质量忽略不计。子弹射入后，摆的速度为 （ a ）
ab);cd).
计算题。2－13 用力推物体，使物体沿轴正方向前进，力在轴上的分量为。
式中的单位为，的单位为。求当物体由移到时，力所做的功。
解在物体由移到的过程中，力所做的功为。
2－14 一个不遵守胡克定律的弹簧，它的弹性力与形变的关系为。
式中， ,求弹簧变形由到时，弹性力所做的功。
解在弹簧变形由到的过程中，弹性力所做的功为。
将和代入上式，可得。
2－15 如果子弹穿入墙壁时，所受的阻力与穿入的深度成正比，证明当子弹的初速度增大为原来的倍时，子弹进入墙壁的深度也增大倍。
证在穿进墙壁后，子弹所受的阻力，式中为常数。设子弹进入墙壁的最大深度为，则在子弹穿入过程中，阻力对子弹所做的功为。
子弹在最大深度时的速度为零。设子弹的初速度，根据动能定理，有。
由此可得。上式中的和子弹质量均为常数，因此子弹的初速度和子弹进入墙壁的最大深度成正比。若子弹的初速度增大为原来的倍，则子弹进入墙壁的最大深度也增大为原来的倍。
2－16 如图所示，一质量为的小球，从高度处落下，使弹簧受到压缩。假定弹簧的质量与小球相比可以略去不计，弹簧的劲度系数。求弹簧被压缩的最大距离。
解小球从开始下落，到弹簧达到最大压缩量为止，下落距离为。这期间， 对于由小球、弹簧和地球组成的系统，只有保守力做功，因此系统的机械能守恒。以弹簧未被压缩时的上端为势能零点，有。
即。将，代入上式，可解得。
因为弹簧压缩的最大距离为正数，所以的根是增根。弹簧被压缩的最大距离为。
2－17 测定矿车的阻力因数(即阻力与矿车对轨道正压力的比值)的设施如图所示。测定时使矿车自高度处从静止开始下滑，滑过一段水平距离后停下。已知坡底的长度为，证明。
证设矿车质量为，则矿车沿坡道下滑时所受的正压力为，在平面上前进时所受的正压力为。式中为斜面与水平面的夹角。矿车所受的外力有重力、摩擦力和正压力。
根据动能定理，外力对矿车所做的功等于其动能的增量，而在始末二状态，矿车的动能均为零，于是有。
由此可得。2－18 一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合外力为。
式中、为常量。
1) 设子弹走到枪口处，所受的合力刚好为零，求子弹走完枪筒全长所需的时间；
2) 求子弹所受的冲量；
3) 求子弹的质量。
解 (1) 设子弹在时刻受力为零，即。
由此可得。此即子弹走完枪筒全长所需的时间。
2) 在时间内，子弹所受的冲量为。
3) 根据动量原理， ,且子弹的初速度为零，有。
由此可得，子弹的质量为。
2－19 一质量为的质点，在平面上运动，其位置矢量为。
求从到时间内，质点所受的合外力的冲量。
解质点的速度为。
时， 质点的速度为。
时， 质点的速度为。
根据动量定理，在到时间内，质点所受的合外力的冲量为。
2－20 有一横截面积为的直角弯管，水平放置，如图所示。管中流过流速为的水。求弯管所受力的大小和方向。
解如图所示，在时间内，弯管中圆弧长的水体运动到，其动量的增量等于质量均为为的和的水体的动量之差。设弯管对水体的作用力为，根据动量定理，有。
由此可得。水对弯管的作用力是的反作用力，为。
的大小为。与夹角为。
即与水平成，斜向下。
2－21 水力采煤是利用水枪在高压下喷出来的强力水柱，冲击煤层而使煤层破裂。设所用水枪的直径为，水速为，水柱与煤层表面垂直，如图所示。水柱在冲击煤层后，沿煤层表面对称地向四周散开。
求水柱作用在煤层上的力。
解设水在煤层表面均匀四散，则四散的水沿煤层表面的动量之和在任何时刻都为零。因此煤层对水柱的冲力沿煤层表面的分量为零。
在时间内，有质量为的水到达煤层表面并四散。式中为水速，为水柱截面积。煤层对水柱冲力在方向上，设为，则根据动量定理，有。
由此可得。水柱对煤层的冲力是的反作用力，沿轴的正向，即垂直指向煤层，大小为。
2－22 在铁轨上，有一质量为的车辆，其速度为，它和前面的一辆质量为的静止车辆挂接。挂接后，它们以同一速度前进。求：
1) 挂接后的速率；
2) 质量为的车辆受到的冲量。
解取的车辆的前进方向为正方向。
1) 设两辆车一起前进的速度为，则根据动量守恒定律，有。
式中是质量为的车辆的初速度，质量为的车辆的初速度。由此可得，两辆车挂接后一起前进的速度为。
2) 根据动量定理，质量为的车辆受到的冲量为。
2－23 一个质量为的人，以速率跳上一辆以的速率运动的小车。小车的质量为。
1) 如果人从小车后面跳上去，求人和小车的共同速度。
2) 如果人从小车前面跳上去，求人和小车的共同速度。
解取小车原来的前进方向为正方向。设人和小车的共同速度为，则根据动量守恒定律，有。
式中和是人的质量和速度，和是小车的质量和速度。由上式可得。
1) 如果人从小车后面跳上去，则人的速度，人和小车的共同运动的速度为。
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