(b) 更一般地，假设在下面的集合上给定一个概率分布。
假设仿射密码的每个密钥的概率是。证明当这个概率分布定义在密钥空间上时，仿射密码具有完善保密性。
解：在仿射密码中，p=c=，对于任意，加密函数 ， 解密函数。
首先计算c的概率分布 。假设，则 ==
固定，则构成的一个置换；固定，则构成的另一个置换。因此有。
对于任意的
又对于任意的，满足的是唯一的，所以，使得。
又由贝叶斯定理，可得：
因此该密码体制是完善保密性的。
b)在上存在乘法逆，当且仅当，并且其如果存在，则必唯一。由数学知识可知，则。同理可得：
因此对于任意的，又。
又由贝叶斯定理，可得：
因此在该密钥空间上，仿射密码是完善保密性的。
2.6 假设在“一次一密”密码体制中，密文和（两个二进制的元数组）是使用同一个密钥，分别加密明文和得到的。证明。
解：由一次一密体制可知。
两式相加得。
所以有，因此。
2.9 假设有下列概率分布：。使用huffman算法找出无前缀的最佳编码。将这个编码的长度和进行比较。
解：huffman算法按如下**进行：
可得到如下编码：
因此，编码的平均长度是l=0.32×2+0.23×2+0.20×2+0.15×3+0.10×3=2.25
和熵进行比较：
-0.32lb0.32-0.
23lb0.23-0.20lb0.
20-0.15lb0.15-0.
10lb0.10=0.5260+0.
4877+0.4644+0.3322=2.
2208
可以看出，编码的平均长度和熵十分接近。
第二章习题解答
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