高等数学习题解答。
第二章导数与微分）
惠州学院数学系。
参***。1. 设，试按导数定义求。
解： 2. 设（，，为常数），试按导数定义求。
解： 3. 用定义证明。
解：f (x)
即 (cos x)=-sin x
4. 求下列函数的导数：
解： 5. 将一个物体铅直上抛，经过时间（单位：）后，物体上升高度为（单位：），试求：
1）物体在1到1+t这段时间内的平均速度；
2）物体在1s时的瞬时速度；
3）物体在到这段时间内的平均速度；
4）物体在时的瞬时速度。
解：（1）物体在1到1+t这段时间内的平均速度为。
（m/s）2）物体在1s时的瞬时速度为。
m/s）3）物体在到这段时间内的平均速度为。
（m/s）4）物体在时的瞬时速度为。
（m/s）6. 在抛物线上取横坐标为的两点，作过这两点的割线，问抛物线上哪一点的切线平行于这条割线，并写出这条切线的方程。
解：割线的斜率，
令，得从而即曲线在点(2,4)的切线平行于该割线，其切线方程为：y-4=4(x-2),即 y-4x+4=0.
7. 求曲线上点(，)处的切线方程和法线方程。
解：切线的斜率：，则法线的斜率。
从而所求切线方程为，法线方程为。
8. 求曲线的通过点(0 4)的切线方程
解：，则过曲线上一点的切线方程为，将(0 4)代入直线方程得，从而所求切线方程为。
9. 证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于。
证明：因为，在曲线上任取一点，则过该点的切线方程为。
则该切线在x，y轴的截距分别为，，于是切线与两坐标轴所围面积。
10. 讨论下列函数在处的连续性与可导性：
解：（1），所以函数在处连续。
而。所以函数在点处不可导。
（2），而，所以函数在处连续而，所以函数在点处可导。
（3），而，所以函数在处连续而，所以函数在点处不可导。
11. 设在处可导，求，的值。
解：要使函数在处连续且可导，则应满足。
存在， 又
要使存在，则，
12. 设求，。
解： 13. 设所给函数可导，证明：
1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。
2)周期函数的导数仍为周期函数。
证明：(1)设，且可导，则由导数定义。
即结论可证。
2)略。14.设函数f(x)在x=0处可导，在什么情况下函数|f(x)|在x=0处也可导。
解：当时，不妨设，则在的某一邻域中有，故，所以在处也可导；
当时，由于，其中。
分别在处计算左、右极限，得在处的左导数为，右导数为，所以在处也可导的充分必要条件。
1. 推导余切函数与余割函数的导数公式。解：（1）
2. 证明：（1） （2）
解：（1）；
2）同理可证。
3. 求下列函数的导数：
解：（1）
（3）从而。
4. 求下列函数的导数（其中是常数）:
解：（1）
5. 设函数可导，求下列函数的导数：
3），求 （4）
解：（1）
6. 讨论分段函数的可导性。
解：时，。时，
时，从而，函数在x=0处连续。
。从而f(x)在x=0处不可导。综合上述。
7. 求下列函数的导数：
解：（1）
8. 求下列函数的导数。
解：（1）
（3），于是，
1. 求下列函数的二阶导数：
解：（1），
2. 求下列函数在指定点的二阶导数：
1），求；2），求。解：（1）
3. 验证函数满足关系式。
解：，，于是将代入得，即函数满足关系式。
4.，求。解：因为，运用莱布尼茨公式得。
5. 设，求。
解： 6.求下列函数的n阶导数：
3），求4）.解：（1）
（3）， 则。
1.求下列隐函数的导数：
解：（1）方程两边对x求导得：
解得： （2）方程两边对x求导得：，解得：
（3）方程两边对x求导得：，解得：
（4）方程两边对x求导得：，解得：
（5）方程两边对x求导得：
解得： 2．用对数求导法求下列函数的导函数：
解：（1）等号两边分别对x求导：
2）,等号两边分别对x求导：
即。3）等号两边分别对x求导：
即。4），等号两边分别对x求导：，即。
5），等号两边分别对x求导：，即。
3、求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数：
解：（1）方程两边对x求导：，即，于是，即，（2）方程两边对x求导：，即，于是。
（3）应用隐函数的求导方法，得。
解得：，对此式再对求导。
（4）应用隐函数的求导方法，得，解得：，对此式再对求导。
4．求下列参数方程的导数：
解：（1），，于是。
5、求由下列参数方程所确定的隐函数的二阶导数：
1）求2）求。
解：（1），
由方程得，t=0时，y=,=0
（2），6．设．
1）求；2）证明曲线的切线被坐标轴所截的长度为一个常数．
解：（1）（2）过曲线上一任点（x, y）的切线方程为，则该切线在两坐标轴的截距分别为：
7．证明：曲线上任一点的法线到原点的距离恒等于．
证明：，过曲线上一任点（x, y）的法线方程为。
即。于是，该法线到原点的距离为：
8．溶液从深15cm，顶直径12cm的正圆锥形漏斗漏入一直径为10cm的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其液面下降的速率为。问这时圆柱形容器中液面上升的速率是多少？
解：设在时刻t漏斗中溶液的深度为，液面半径为r，圆柱形容器中溶液的深度为。由，得，依题意，即，从而，又当时，，∴得。
答：圆柱形容器中液面上升的速率为。
1．单项选择题：
1）设可微，则=（
ab、；cd、.
2）函数在点处可微，则当很小时，≈（
a、； b、； c、； d、.
3）设为自变量，当，时， =
a、0.3b、0c、0.01d、0.03.
ab、；cd、.
5）将半径为的球体加热，如果球半径增加，则球体积的增量≈（
ab、；cd、.
解：1）（c ）；
2）（d ）；
3）（a）；
4）（d）；
5）（b）；
2．已知，在时，计算当分别等于0.1，0.01时的和。
解： =0.1，时=1.161， =1.1； =0.01时， =0.110601， =0.11.
3．函数在点处有增量，对应的函数增量的线性主部等于0.8，求在点处的导数。
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