高等数学习题解答。
第二章导数与微分)
惠州学院数学系。
参***。1. 设,试按导数定义求。
解: 2. 设(,,为常数),试按导数定义求。
解: 3. 用定义证明。
解:f (x)
即 (cos x)=-sin x
4. 求下列函数的导数:
解: 5. 将一个物体铅直上抛,经过时间(单位:)后,物体上升高度为(单位:),试求:
1)物体在1到1+t这段时间内的平均速度;
2)物体在1s时的瞬时速度;
3)物体在到这段时间内的平均速度;
4)物体在时的瞬时速度。
解:(1)物体在1到1+t这段时间内的平均速度为。
(m/s)2)物体在1s时的瞬时速度为。
m/s)3)物体在到这段时间内的平均速度为。
(m/s)4)物体在时的瞬时速度为。
(m/s)6. 在抛物线上取横坐标为的两点,作过这两点的割线,问抛物线上哪一点的切线平行于这条割线,并写出这条切线的方程。
解:割线的斜率,
令,得从而即曲线在点(2,4)的切线平行于该割线,其切线方程为:y-4=4(x-2),即 y-4x+4=0.
7. 求曲线上点(,)处的切线方程和法线方程。
解:切线的斜率:,则法线的斜率。
从而所求切线方程为,法线方程为。
8. 求曲线的通过点(0 4)的切线方程
解:,则过曲线上一点的切线方程为,将(0 4)代入直线方程得,从而所求切线方程为。
9. 证明:双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于。
证明:因为,在曲线上任取一点,则过该点的切线方程为。
则该切线在x,y轴的截距分别为,,于是切线与两坐标轴所围面积。
10. 讨论下列函数在处的连续性与可导性:
解:(1),所以函数在处连续。
而。所以函数在点处不可导。
(2),而,所以函数在处连续而,所以函数在点处可导。
(3),而,所以函数在处连续而,所以函数在点处不可导。
11. 设在处可导,求,的值。
解:要使函数在处连续且可导,则应满足。
存在, 又
要使存在,则,
12. 设求,。
解: 13. 设所给函数可导,证明:
1)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数。
2)周期函数的导数仍为周期函数。
证明:(1)设,且可导,则由导数定义。
即结论可证。
2)略。14.设函数f(x)在x=0处可导,在什么情况下函数|f(x)|在x=0处也可导。
解:当时,不妨设,则在的某一邻域中有,故,所以在处也可导;
当时,由于,其中。
分别在处计算左、右极限,得在处的左导数为,右导数为,所以在处也可导的充分必要条件。
1. 推导余切函数与余割函数的导数公式。解:(1)
2. 证明:(1) (2)
解:(1);
2)同理可证。
3. 求下列函数的导数:
解:(1)
(3)从而。
4. 求下列函数的导数(其中是常数):
解:(1)
5. 设函数可导,求下列函数的导数:
3),求 (4)
解:(1)
6. 讨论分段函数的可导性。
解:时,。时,
时,从而,函数在x=0处连续。
。从而f(x)在x=0处不可导。综合上述。
7. 求下列函数的导数:
解:(1)
8. 求下列函数的导数。
解:(1)
(3),于是,
1. 求下列函数的二阶导数:
解:(1),
2. 求下列函数在指定点的二阶导数:
1),求;2),求。解:(1)
3. 验证函数满足关系式。
解:,,于是将代入得,即函数满足关系式。
4.,求。解:因为,运用莱布尼茨公式得。
5. 设,求。
解: 6.求下列函数的n阶导数:
3),求4).解:(1)
(3), 则。
1.求下列隐函数的导数:
解:(1)方程两边对x求导得:
解得: (2)方程两边对x求导得:,解得:
(3)方程两边对x求导得:,解得:
(4)方程两边对x求导得:,解得:
(5)方程两边对x求导得:
解得: 2.用对数求导法求下列函数的导函数:
解:(1)等号两边分别对x求导:
2),等号两边分别对x求导:
即。3)等号两边分别对x求导:
即。4),等号两边分别对x求导:,即。
5),等号两边分别对x求导:,即。
3、求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数:
解:(1)方程两边对x求导:,即,于是,即,(2)方程两边对x求导:,即,于是。
(3)应用隐函数的求导方法,得。
解得:,对此式再对求导。
(4)应用隐函数的求导方法,得,解得:,对此式再对求导。
4.求下列参数方程的导数:
解:(1),,于是。
5、求由下列参数方程所确定的隐函数的二阶导数:
1)求2)求。
解:(1),
由方程得,t=0时,y=,=0
(2),6.设.
1)求;2)证明曲线的切线被坐标轴所截的长度为一个常数.
解:(1)(2)过曲线上一任点(x, y)的切线方程为,则该切线在两坐标轴的截距分别为:
7.证明:曲线上任一点的法线到原点的距离恒等于.
证明:,过曲线上一任点(x, y)的法线方程为。
即。于是,该法线到原点的距离为:
8.溶液从深15cm,顶直径12cm的正圆锥形漏斗漏入一直径为10cm的圆柱形容器中,开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为12cm时,其液面下降的速率为。问这时圆柱形容器中液面上升的速率是多少?
解:设在时刻t漏斗中溶液的深度为,液面半径为r,圆柱形容器中溶液的深度为。由,得,依题意,即,从而,又当时,,∴得。
答:圆柱形容器中液面上升的速率为。
1.单项选择题:
1)设可微,则=(
ab、;cd、.
2)函数在点处可微,则当很小时,≈(
a、; b、; c、; d、.
3)设为自变量,当,时, =
a、0.3b、0c、0.01d、0.03.
ab、;cd、.
5)将半径为的球体加热,如果球半径增加,则球体积的增量≈(
ab、;cd、.
解:1)(c );
2)(d );
3)(a);
4)(d);
5)(b);
2.已知,在时,计算当分别等于0.1,0.01时的和。
解: =0.1,时=1.161, =1.1; =0.01时, =0.110601, =0.11.
3.函数在点处有增量,对应的函数增量的线性主部等于0.8,求在点处的导数。
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