1下列数据作为的近似数,试确定它们各有几位有效数字,并确定其相对误差限。
(表示的近似数,解:把近似数规格化形式后均有,首位非零数字为3
有3位有效数字,)
有3位有效数字,)
有2位有效数字,)
有3位有效数字,2 证明§2.2中的定理 2.1,定理 2.2.
3 已知的近似数相对误差为,试问至少有几位有效数字?
解:因的第一位数字为,所以的第一位数字,根据定理2.1,当。
成立时,有位有效数字,而时。
所以近似数至少有位有效数字。
4 为尽量避免有效数字的严重损失,当时应如何加工下列计算公式:
解:(1);(2);(3)
5 序列满足递推关系。
若取做近似计算,问计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗?
解:此递推关系每计算一次误差增长倍,故算法不稳定。
6设验证若取依次计算时(不要求具体算出),请你证明这样设计的算法其误差传播是逐步扩大的,算法是不稳定的。并要求另外设计一种数值稳定的算法。
解: 对用分部积分法得。
设误差其中。于是。
当增大时是递增的, 的误差达到,是严重失真的。
数值稳定的计算方法: 将递推公式改为。
于是在从后往前计算时, 的误差减少为原来的,若取足够大,误差逐步减少,计算结果是稳定可靠的。
7 可由下列迭代公式计算:
若是的具有位有效数字的近似值,求证是的具有位有效数字的近似值。
解由。和,得到数列有下界。又。
即,数列单调不增。 故存在。令,对迭代公式两边取极限,可求得。
现设是的具有位有效数字的近似值,即有。
于是,得。可见, 是的具有位有效数字的近似值。
8用秦九韶算法计算多项式在自变量时的值。解:故
补充例题。例题1:试问真值的近似数是否为有效数。
解:由有效数的定义知近似数具有两位有效数字,分别是。
由于不是有效数字,故不是有效数。
例题2为尽量避免有效数字的严重损失,当时应如何加工下列计算公式。
解: 为尽量避免有效数字的严重损失,应作变换:
例题3 设。
1)证明:2)设计一种数值稳定的算法,并证明算法的稳定性。
解: (1) 对用分部积分法得。
(2) 由(1)得:若已知,设计如下递推算法:
注意到:于是
取可得如下递推算法。
设 ,则 ,,即。
每迭代一次误差均在减少,所以设计的递推算法是数值稳定的。
例题4 已知试建立一个具有较好数值稳定性的求的递推公式,并证明算法的稳定性。
解: 由。得到求的递推公式:
而初值,由此出发,根据上述递推公式可以求。
的近似值求:
记的绝对误差为,则有:即。
由此可见,的误差将缩小传播到,误差传播是逐步衰减的。因而,递推公式(*)是数值稳定的。
例题5 数列满足递推公式。若取位有有效数字),问按此递推算法从算至时误差有多大?这个计算过程稳定吗?
解: ,则计算过程不稳定。
计算至时误差: .
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