第二章数列极限。
p.27 习题。
2．按定义证明：
证明因为 ，所以，取，，必有。 故。
证明因为 于是，取，，有 . 所以。
证明因为 ，于是，取，，必有。 所以。
证明因为，于是，取，，必有。 所以。
证明因为，设，于是。
从而。所以，取，，有。 故。
3．根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：
解 （1）（用例2的结果，），无穷小数列。
2），（用例5的结果，）
3），（用例2的结果，），无穷小数列。
4），（用例4的结果，），无穷小数列。
5），（用例4的结果，），无穷小数列。
6），（用例5的结果，）.
7）,（用例5的结果，）.
4．证明：若，则对任一正整数 k ，有。
证明因为，所以，于是，当时，必有，从而有，因此。
5．试用定义1证明：
1）数列不以1为极限；（2）数列发散。
证明（用定义1证明） 数列不以 a 为极限（即）的定义是：，1）取，，取，有。
故数列不以1为极限。
另证（用定义1’证明） 取，则数列中满足的项（有无穷多个）显然都落在1的邻域之外，故数列不以1为极限。
2）数列=，对任何，取，则数列中所有满足“n 为偶数，且”的项（有无穷多个），都落在 a 的邻域之外，故数列不以任何数 a 为极限，即数列发散。
6．证明定理2.1，并应用它证明数列的极限是1.
定理2.1 数列收敛于 a 充要条件是：为无穷小数列。 （即的充要条件是）
证明 （必要性）设，由数列极限的定义，，有 ，所以 .
充分性）设，由数列极限的定义，，有 ，所以。
下面证明：数列的极限是1. 因为是无穷小数列，所以数列的极限是1.
7．证明：若，则。 当且仅当 a 为何值时反之也成立？
证明设，由数列极限的定义，，，所以也有。 但此结论反之不一定成立，例如数列。
当且仅当 a = 0 时反之也成立。 设，于是，，所以。
8．按定义证明：
3），其中。
证明 （1）因为。 于是，取，，必有，从而。
2）因为 ，于是，取，，必有，所以。
3）因为当 n 为偶数时，当 n 为奇数时，，故不管n 为偶数还是奇数，都有。 于是，取，，必有，所以 .
p.33 习题。
1．求下列极限：
根据p.24例2 ，，可得。
根据p.25例4 ，，可得。
这是因为由p.29例1若，则。 于是由，得。
，因为（）
2．设，，且。 证明：存在正数n，使得当时，有。
证明由，有。 因为，由p.24保号性定理2.4，存在，使得当时有。 又因为，所以，又存在，使得当时有。 于是取，当时，有。
3．设为无穷小数列，为有界数列，证明：为无穷小数列。
证明因为为有界数列，所以存在，使得。 由为无穷小数列，知，. 从而当时，有，所以，即为无穷小数列。
4．求下列极限。
2）因为 ，而。
于是，从而。
4）当时，，，而，所以。
5）因为，所以。
6）因为，且，所以。
5．设与中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明是发散数列。 又问和是否必为发散数列。
证明 （用反证法证明）不妨设是收敛数列，是发散数列。 假设数列收敛，则收敛，这与是发散数列矛盾，所以，数列发散。 同理可得数列发散。
和不一定是发散数列。 例如，若是无穷小数列，是有界的发散数列。 则和是无穷小数列，当然收敛。
但是，有下列结果：如果，是发散数列，则和一定是发散数列。
6．证明以下数列发散：
证明设，则，而，由p.33，定理2.8 知发散。
证明的偶数项组成的数列，发散，所以发散。
证明设，则子列 ，子列，故发散。
7．判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）：
1）若和都收敛，则收敛。
解结论不一定成立。 例如，设，则，都收敛，但发散。
注若和都收敛，且极限相等（即），则收敛。
2）若，和都收敛，且有相同的极限，则收敛。
证明设，则由数列极限的定义，知，，，同样也有，，；取，当时，对任意的自然数 n ，若，则必有，从而；同样若，则必有，从而也有；若，则必有，从而。 所以，即收敛。
8．求下列极限：
解因为 而，所以
另解因为，设，则。 于是，所以。
2） 答案见教材p.312提示。
解 所以，另解因为，所以，于是。
从而。 4） 答案见教材p.312提示。
9．设为 m 个正数，证明：
证明因为 而，所以。
10．设，证明：
1）； 2）若，则。
证明 （1）因为，所以。 由于，且，从而。
2）因为 ，由p.29 定理2.4，存在，使得当时，有。 于是 ，并且，所以。
p.38 习题。
1．利用求下列极限：
注：此题的求解用到事实（p.29例1）：若，且，则。
解因为数列单调增加，且有上界 3，于是。
所以。2．试问下面的解题方法是否正确：求。
解不正确。 因为极限是否存在还不知道（事实上极限不存在），所以设是错误的。
3．证明下列数列极限存在并求其值：
1）设。证明先证数列的有界性，用数学归纳法证明：2是的一个上界。 ，假设，则，所以有上界2.
其次证明单调增加。 ，所以，即单调增加。 从而极限存在，设，在的两端取极限，得，解之得 a = 0 (舍去) 和 2，所以。
注：的单调增加也可以如下证明：，所以。
还可以如下得到：
2）设。证明先证数列的有界性，用数学归纳法证明：的一个上界是 1 + c . 假设，则，所以有上界1 + c.
其次证明单调增加（用数学归纳法证明）. 假设，于是，从而，即。 故单调增加。
所以极限存在，设，在的两端取极限，得，解之得 . 由于an > 0 ，所以 a > 0 . 故 .
证明先证从某一项以后单调减少。 取自然数 n 使得 n > c ，于是当时，，即从第n项开始单调减少。
由于的各项都大于零，所以有下界0. 从而极限存在。 设，在的两端取极限，得，故，即。
4．利用为递增数列的结论，证明为递增数列。
证明设，要证：，即。
因为为递增数列，所以有，即，于是。
其中用到事实：.
5．应用柯西收敛准则，证明以下数列收敛：
证明不妨设，则有。
所以，，取，，有，由柯西收敛准则，收敛。
证明不妨设，则有。
所以，，取，，有，由柯西收敛准则，收敛。
6．证明：若单调数列含有一个收敛子列，则收敛。
证明不妨设是单调增加数列，是其收敛子列。 于是有界，即存在，使得。 对单调增加数列中的任一项必有，即单调增加有上界，从而收敛。
7．证明：若，且，则。
证明因为，所以存在 r 使得。 于是由数列极限的保号性定理（p.29），存在，当时，，.从而有， 因此，， 故。
8．证明：若为递增有界数列，则；若为递减有界数列，则。 又问逆命题成立否？
证明证明过程参考教材p.35，定理2.9（单调有界定理）.
逆命题不一定成立。 例如数列，，但不单调。
9．利用不等式 ，证明：
为递减数列，并由此推出为有界数列。
证明设，由不等式 ，有。
于是，在上式中令 ，，得。
即，故为递减数列。
而，所以为有界数列。
10．证明：
证由上题知为递减数列，于是对任何有，令，取极限得，又因为。
由①、②得 ，从而。
11．给定两正数 a1 与 b1 ( a1 > b1 )，作出其等差中项与等比中项，一般地令，证明：与皆存在且相等。
证明因为，所以有，即单调减少。 同样可得单调增加。 于是有，即单调减少有下界，单调增加有上界，故与皆存在。
在的两端取极限，可得。
12．设为有界数列，记，证明：⑴ 对任何正整数，；
为递减有界数列，为递增有界数列，且对任何正整数，有；
设和分别是和的极限，则；
收敛的充要条件是。
证 ⑴ 对任何正整数， 因为，，所以为递减有界数列。
由，知为递增有界数列。
对任何正整数，，因为为递减有界数列，为递增有界数列，所以有。
因为对任何正整数，有，令得，，即，令得，故。
设收敛，. 则，，，于是有，从而。 同理可得，所以。
反之，设。 由， ，得，，，有及，从而。
p.40 总练习题。
1．求下列数列的极限：
解当时，有，于是。所以。
解设，则当时，，于是，所以。
解法2 用p.39 习题7的结论。 设，，从而。
解法3 用p.27 习题2⑸的结果。
解法4 用单调有界定理。 令，则。 因为，所以存在，当时，，从而当时，. 于是从起数列递减，且有下界0，因此收敛。 设，在等式的两端取极限，得，所以。
解 2．证明：
证明当时，结论成立。
当时，有，令，于是有，而由牛顿二项式定理，当时有，从而。
所以。另解用p.27 习题2⑸的结果。
证明因为，于是。所以。
证明先证明不等式：.
用数学归纳法证明，当时，显然不等式成立；假设成立，当 n + 1 时。
故不等式成立。 由此可得，所以。
另解用数学归纳法证明不等式：
3．设，证明：
1）（又问由此等式能否反过来推出）
证明因为，于是有，. 从而当时，有。
其中是一个定数。 再由，知存在，使得当时，. 因此取，当时，有。
反过来不一定成立。 例如不收敛，但。
练习：设，证明：
2) 若，则。
证明先证算术平均值—几何平均值—调和平均值不等式：
算术平均值—几何平均值不等式：
对任何非负实数，有，其中等号当且仅当时成立。 由此推出，对4个非负实数，，，有。
按此方法继续下去，可推出不等式对一切（）都成立，为证其对一切正整数都成立，下面采用所谓的反向归纳法，即证明：若不等式对某个成立，则它对也成立。
设非负实数，令，则有。
整理后得，即不等式对成立，从而对一切正整数都成立。
几何平均值—调和平均值不等式的证明，可令，再对（）应用平均值不等式。
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