（一）1 证明 ,使，有，即在的对应去心邻域内无重点，即能够联结割线，否则就存在数列，使，于是有。
此与假设矛盾。
若，有．因为，所以。
因此，割线确实有其极限位置，即曲线在点的切线存在，其倾角为。
2 证明因在点解析，则均存在。所以。
3 证明 于是。
同理可求得．从而在原点满足条件，但在原点，当沿时，有，故在原点不可微。
4 证明 ⑴ 当时，即至少有一个不等于0时，或有，或有，故至多在原点可微。
⑵ 在上处处不满足条件。
⑶ 在上处处不满足条件。
⑷,除原点外， 在上处处不满足条件。
5 解 ⑴,此时仅当时有。
且这四个偏导数在原点连续，故只在原点可微。
⑵,此时仅当这条直线上时有。
且在这四个偏导数连续，故只在可微但不解析。
⑶,且，故只在曲线上可微但不解析。
在全平面上有。
且在全平面上这四个偏导数连续，故可微且解析。
6 证明 ⑴，于是．则均为常数，故亦为常数。
⑵ 设则，由与均在d内解析知。
结合此两式得，故均为常数，故亦为常数。
若，则显然；
若，则此时有，且，即也时解析函数，由(2)知为常数。
设，若，则，由条件得。
因此为常数， 则亦为常数。
7 证明设则由在d内解析知。
从而，因而亦d内解析。
8 解 ⑴ 由，则有。
故为连续的，且满足条件，所以在平面上解析，且，故在z平面上解析，且。
⑶ 由，则有。
故为连续的，且满足条件，所以在平面上解析，且。
由，则有。
故为连续的，且满足条件，所以在平面上解析，且。
9 证明设则从而。
再由，可得，因此可得在点z可微且。
10 解 ⑴；
；，所以．11 证明 ⑴ 因为，因此．
而，得证。 因为，所以．
因为，所以．
12 证明分别就为正整数，零，负整数的情形证明，仅以正整数为例．
当时，等式自然成立。
假设当时，等式成立。那么当时， ,等式成立。故结论正确。
13 解 ⑴；
14 证明 ⑴ 由于在点解析，且，故。
由于在点解析，且，因此。
由于在点解析，且。
因此。15 证明由于，所以。
同理证明⑵.
16 证明 ⑴；
17 证明 ⑴；
18 证明 ⑴；
19 证明。
20 解 ⑴
由于，则有；
由于，故；,即，所以；
设由得，．于是。
则，．从而，且。
则．21 证明因，所以。
22 解 ,．利用定，再计算．
23 解 ,由定，再计算．
24 解 所以。
25 解在平面上沿为圆心，为半径的圆周从走到，经过变换，其象点在平面上沿以为心，为半径的象圆周从走到，刚好绕的支点-1转一整周，故它在的值为。因此。
26 证明函数可能的支点为0，1，．由于，故的支点为，因此在将z平面沿实轴从0到1割开后，就可保证变点z不会单绕0或者说转一周，于是在这样割开后的z平面上就可以分出三个单值解析分支。
另由已知得。
二)1 证明由得，于是。
所以．由于，因此且，故。
2 证明同第一题．注意。
3 证明题目等价于以下命题：设为关于实轴对称的区域，则函数在内解析在内解析。
设在内解析，对任意的，当时，有，所以。
这是因为在内解析，从而有，由的任意性可知，在内解析。
4 证明 ⑴ 由于，根据复合函数求偏导数的法则，即可得证。，所以，得．
5 证明 ，所以 ．而，故左边成立。
右边证明可应用的定义及三角不等式来证明。
6 证明 ，即．
又有。7 证明据定义，任两相异点为单位圆，有。
故函数在内是单叶的。
8 证明因为有支点-1,1,取其割线[-1,1],有。
9 解因为有支点，此时支割线可取为：沿虚轴割开，沿实轴割开，线路未穿过支割线，记线路为，故。
10 证明因为的可能支点为，而，所以的支点为0,1．于是在割去线段的平面上变点就不可能性单绕0或1转一周，故此时可出两二个单值解析分支，由于当z从支割线上岸一点出发，连续变动到时，只z的幅角共增加，由已知所取分支在支割线上岸取正值，于是可认为该分支在上岸之幅角为0，因而此分支在的幅角为，故。
第二章习题解答
2.1 解均匀扇形薄片，取对称轴为轴，由对称性可知质心一定在轴上。有质心公式。设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元，又因为。对于半圆片的质心，即代入，有。2.2 解建立如图2.2.1图所示的球坐标系。把球帽看成垂直于轴的所切层面的叠加 图中阴影部分所示 设均匀球体的密度为。则 由对称性可知，此球帽的...
第二章习题解答
第二章。思考题。1 试写出导热傅里叶定律的一般形式，并说明其中各个符号的意义。答 傅立叶定律的一般形式为 其中 为空间某点的温度梯度 是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向 为该处的热流密度矢量。2 已知导热物体中某点在x,y,z三个方向上的热流密度分别为及，如何获得该点的热密度矢量...
第二章 习题解答
高等数学习题解答。第二章导数与微分 惠州学院数学系。参 1.设，试按导数定义求。解 2.设 为常数 试按导数定义求。解 3.用定义证明。解 f x 即 cos x sin x 4.求下列函数的导数 解 5.将一个物体铅直上抛，经过时间 单位 后，物体上升高度为 单位 试求 1 物体在1到1 t这段时...