1. 将下列命题符号化：
1) 所有的火车都比某些汽车快。
2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。
3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。
4) 每个人都有自己喜欢的职业。
5) 有些职业是所有的人都喜欢的。
解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令。
是火车， 是汽车， 比y跑得快。
所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为。
2) 取论域为所有物质的集合。令。
是金属， 是液体， 可以溶解在y中。
任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为。
3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为。
4) 取论域为所有事物的集合。令。
是人， 是职业， 喜欢y。
每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为。
5)论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为。
2. 取论域为正整数集，用函数（加法），（乘法）和谓词，将下列命题符号化：
1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。
2) 任何两个正整数都有最小公倍数。
3) 没有最大的素数。
4) 并非所有的素数都不是偶数。
解先引进一些谓词如下：
能被y整除，可表示为。
是奇数，可表示为。
是偶数，可表示为。
是素数，可表示为。
1) “没有既是奇数，又是偶数的正整数”可表示为，并可进一步符号化为。
2) “任何两个正整数都有最小公倍数”可表示为。
并可进一步符号化为。
3) “没有最大的素数”可表示为，并可进一步符号化为。
4) “并非所有的素数都不是偶数”可表示为，并可进一步符号化为。
3. 取论域为实数集合，用函数，－（减法）和谓词，将下列命题符号化：
1) 没有最大的实数。
2) 任何两个不同的实数之间必有另一实数。
3) 函数在点a处连续。
4) 函数恰有一个根。
5) 函数是严格单调递增函数。
解 (1) “没有最大的实数”符号化为。
2) “任何两个不同的实数之间必有另一实数”符号化为。
3) “函数在点a处连续”的定义是：
任给，总可以找到，使得只要就有。
函数在点a处连续”符号化为。
4) “函数恰有一个根”符号化为。
5) “函数是严格单调递增函数”符号化为。
4. 指出下列公式中变元的约束出现和自由出现，并对量词的每次出现指出其辖域。
解 (1) 变元 x 在中三次出现都是约束出现，x 的唯一出现的辖域是 p(y, x) p(x, a)。
2) 变元 x 在中的头两次出现是约束出现，第三次出现是自由出现。变元 y 在中的唯一出现是自由出现。变元 z 在中的唯一出现是约束出现。
x 的唯一出现的辖域是 p(x)，z 的唯一出现的辖域是q(x, y)。
3) 变元 x 在中的头五次出现是约束出现，第六次出现是自由出现。x 的第一次出现的辖域是p(x) r(x)，第二次出现的辖域是p(x)。
4) 变元 x 在中的头两次出现是自由出现，后两次出现是约束出现。x 的唯一出现的辖域是 p(z, g(x, y))，y 的唯一出现的辖域是。
p(f(x, y), x) xp(z, g(x, y))。
5) 变元 x 在中的头五次出现是约束出现，第六次出现是自由出现。x 的唯一出现的辖域是p(x) q(x) xr(x)，x 的唯一出现的辖域是r(x)。
5. 归纳证明：若t，是项，则也是项。
证明 ① 若t是x，则是，是项。
若t是不同于x的变元y，则仍是y，是项。
若t是常元a，则仍是a，是项。
若t是，则是，由归纳假设知都是项，所以是项。
6. 归纳证明：若t是项，a是公式，则也是公式。
证明 ① 若a是，则是，由上题知都是项，所以是公式。
若a是，则是，由归纳假设知是公式，所以是公式。
若a是，则是，由归纳假设知和都是公式，所以是公式。
若a是，则仍是a，是公式。
若a是，其中y是不同于x的变元，则是，由归纳假设知是公式，所以是公式。
7. 给定解释i和i中赋值v如下：，
计算下列公式在解释i和赋值i中v下的真值。
解 (1)
7. 给定解释i如下：
，判断i是不是以下语句的模型。
解 (1)
9. 写出一个语句a，使得a有模型，并且a的每个模型的论域至少有三个元素。
解语句a为。给定解释如下。
为自然数集合，当且仅当，，，
则是a的模型，a有模型。
任取满足语句a的解释i，则，又因为，所以，，是论域中三个不同元素，论域中至少有三个元素。
10. 写出一个语句a，使得a有模型，并且a的每个模型的论域有无穷多个元素。
解语句a为。给定解释如下。
为自然数集合，当且仅当
则是a的模型，a有模型。
任取满足语句a的解释i，取，因为，所以有使得，又因为，故。因为，所以有使得，又因为，故。因为，所以，故。
因此，，，是论域中的三个不同元素。这个过程可以不断进行下去，得到因此，论域 di 中必然有无穷多个元素。
11. 判断以下公式是不是永真式、永假式、可满足式，并说明理由。
解 (1)是永真式。若解释i使得，则或。
若，则存在使得，。
若，则存在使得，。
因此，。2)是非永真的可满足式。给定解释i如下。，则。
给定解释如下。，
则。3)是非永真的可满足式。给定解释i如下。，则。
给定解释如下。，
则。4)是非永真的可满足式。给定解释i如下。
则。给定解释如下。，
则。5)是非永真的可满足式。给定解释i如下。，则。
给定解释如下。，
则。6)是永真式。若解释i使得，则存在使得，因此且，且，。
7)是永真式。若解释i使得，则且。存在使得，又因为，所以，。因此，。
12.设a,b是任意公式，证明以下公式是永真式。
1),其中项t对于a中的x是可代入的。
6)，其中x不是a的自由变元。
解 (1) 任取解释i和i中赋值v，若，则，所以。这表明是永真式。
2) 任取解释i和i中赋值v，当且仅当
当且仅当存在使得。
当且仅当存在使得。
当且仅当 这表明是永真式。
3) 任取解释i和i中赋值v，当且仅当
当且仅当存在使得。
当且仅当存在使得。
当且仅当 这表明是永真式。
4) 任取解释i和i中赋值v，若，则存在使得，，且，。这表明是永真式。
5) 任取解释i和i中赋值v，若，则存在使得，，。这表明是永真式。
6) 任取解释i和i中赋值v，若，则对于每个，，因为x不是a的自由变元，所以，因此，。这表明是永真式。
13.设是公式a的闭包，是，其中。证明：
1) a是永真式当且仅当是永真式；
2) a是可满足式当且仅当是可满足式。
证明 (1) （首先证明：若a是永真式，则是永真式。设a是永真式。
任取解释i和i中赋值v，任取，因为也是i中赋值，所以，。是永真式。若a是永真式，则是永真式，… 是永真式。
）因为是永真式，所以若是永真式，则a是永真式。
2) （因为是永真式，所以若解释i和i中赋值v满足a，则i和v满足。
）若解释i和i中赋值v满足，则有使得，i和i中赋值满足a。
14.判断以下等值式是否成立，并说明理由。
解 (1) 不成立。取解释i如下。
，则且。2) 不成立。取解释i如下。
，则且。3) 不成立。取解释i和i中赋值v下。
则且。4) 成立。任取解释i和i中赋值v，因为x不是中的自由变元，所以对于每个，。
当且仅当对于每个，
当且仅当。5) 不成立。取解释i如下。
，则且。6) 不成立。取解释i如下。
，则且。15.设a,b是任意公式，证明以下等值式。
1)，其中y在a中不出现。
3)，其中x不是b的自由变元，y不是a的自由变元。
4)，其中x不是b的自由变元，y不是a的自由变元。
5)，其中x不是b的自由变元，y不是a的自由变元。
证明 (1)
6) 任取解释i和i中赋值v，当且仅当有使得。
当且仅当有使得。
当且仅当有使得。
当且仅当有使得。
当且仅当。16.判断以下逻辑推论关系是否成立，并说明理由。
解 (1) 不成立。取解释i如下。
，则且。这表明。
2) 不成立。取解释i如下。
，则且。这表明。
3) 不成立。取解释i如下。
，则且。这表明。
4) 若解释i使得，则有使得，且，，。这表明。
5) 不成立。取解释i如下。
，则且，这表明。
6) 不成立。取解释i如下。
，则，但。所以。
17.设a,b是任意公式，证明以下结论。
3)，其中x对于a中的y是可代入的。
证明 (1) 若解释i和i中赋值v使得，则有使得，，且，。这表明。
2) 若解释i和i中赋值v使得，则对于每个，，，这表明。
3) 若解释i和i中赋值v使得，则有使得，因为，所以，，。这表明。
4) 若解释i和i中赋值v使得，则对于每个，，且，因此且，。所以。
18.设变元x既不是公式b中的自由变元，也不是公式集中任何公式的自由变元，a是公式。若，则。
证明设解释i和i中赋值v满足，则，有使得。因为x不是公式集中任何公式的自由变元，所以i和也满足，i和满足。又因为，所以，因为x不是b中的自由变元，因此。这表明。
19. 设是公式集合，a是公式，则当且仅当不可满足。
证明设可满足，解释i和i中赋值v满足，则i和v满足且，所以。
设，则有解释i和i中赋值v满足且，所以i和v满足。因此，可满足。
20.判断以下公式集合是否可满足，并说明理由。
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