1．若确知信号为，试求其能量谱密度、能量和自相关函数。
解：信号的傅氏变换为。
其能量谱密度为。
其能量为。信号的能量也可用下面的方法求解。
2． （a）试证明题图2－1所示的三个函数在区间（－2，2）上两两正交。
（b）求（a）中的三个函数构成的标准正交基函数所需要的常数a。
（c）用（b）中的标准正交基函数表示波形。
解：a）计算两两函数间的相关性。
可见三个函数两两正交。
b）任取一函数，如，对其码元的能量进行归一化，即令。
解得 a＝1/2。
c）已知由（b），得到a＝1/2，直接观察函数x(t)与该标准正交基函数的关系，易得：。
若按定义求解，则有：
其中。同样得：。
3．带通信号通过一个冲激响应为的线性系统，输出为。若，，试求：（1）的复包络；（2）的复包络的复包络；（3）求。解：
2）的等效低通响应为
4．证明实平稳随机过程的自协方差函数满足如果的关系：（1）；（2）；（3）。
解：1）按照定义。
2）利用随机过程平稳的特性，可得。
3）利用小题（2）的结果和自相关函数的性质，立刻有。
5． 设，是均值为0、方差为，且相互独立的高斯随机变量，试求：（1）和；（2）的一维概率密度函数；（3）求的相关函数与自协方差函数。解：
2）在任一时刻可看作两高斯随机变量的线性加权和，因此仍为一高斯随机变量，由小题（1），已经求得＝0和，由此可得。
已知该高斯随机过程的均值与方差，可得其分布为。
3）的相关函数。
其中。因已知的均值为0，可见是一平稳随机过程。
的自协方差函数。
6．已知随机信号，式中a是均值为a、方差为a2的高斯随机变量。（1）求随机信号x(t)的均值和方差；（2）该随机信号是否为广义平稳的随机过程，为什么？
解：（1）均值：
方差：2）因为均值为时变的函数，所以该随机信号为非平稳的随机过程。
7．已知和是两个相互独立和零均值的平稳随机过程，它们的自相关函数分别为：。若，求的功率密度谱。
解：由于和相互独立，且均值为0，因此，所以的自相关函数。
的功率密度谱为。
8．设rc低通滤波器如题图4－1所示，求当输入n(t)为均值为0，功率密度谱为n0/2的白噪声时，输出过程y(t)的均值、功率密度谱、自相关函数和分布特性。
解：rc低通滤波器的频率特性为。
均值。功率密度谱。
自相关函数，求功率密度谱的傅氏变换得。
噪声功率（输出信号方差）
因为高斯过程经线性系统后仍为高斯过程，现已求得均值和方差，所以输出高斯信号分布概率密度函数为。
9．双边功率密度谱为的白噪声经过传递函数为的滤波器后成为，若。
求的功率密度谱及其功率。
解：的功率密度谱为。
的功率。10． 设为窄带高斯平稳随机过程，其均值为0，方差为。信号经过题图10所示的电路后成为，其中是于对应的输出，是与对应的输出。
假设和的带宽等于低通滤波器lpf的通频带。（1）若为常数，求和的平均功率之比；（2）若与是独立的零均值的高斯随机变量，求和的平均功率之比。
题图 10解：（1）为常数，由图，经乘法器和低通滤波器输出分别为。的功率为。
经乘法器和低通滤波器输出分别为。
的平均功率为。
由（1）和（2）两式得。
2）与同是独立的零均值的高斯随机变量，记的方差为。此时，利用小题（1）的结果，的平均功率为。
因为。代入上式得。
的平均功率仍为。
由此得。11． 若随机过程，其中是广义平稳随机过程，且自相关函数为。
是在范围内服从均匀分布的随机变量，且与彼此独立，。（1）证明是广义平稳的；（2）绘出自相关函数的波形；（3）求功率谱密度及功率。
解：1）均值。
相关函数。的均值为零（常数），相关函数只与时间的差值有关，因此是广义平稳的。
2）由小题（1），由此可绘出其波形如下。
3）相关函数与功率密度谱是一对傅氏变换：。因为。
因此可得功率谱为。
12．设信道加性高斯白噪声的功率密度谱为，设计一个题图所示的信号的匹配滤波器。（1）求匹配滤波器冲激响应的波形图；（2）确定匹配滤波器的最大信号输出幅度；（3）求匹配滤波器最大输出信噪比；（4）画出信号输入匹配滤波器时输出信号的波形图。
题图 2－12
解：1）通过对信号关于纵轴折叠反转和平移等操作，容易得匹配滤波器的冲激响应的波形图为。
2）匹配滤波器对信号响应的最大输出幅度为。
噪声的平均功率为。
最大的输出信噪比。
4）严格求匹配滤波器时输出信号的波形图是一种较为复杂的卷积计算过程。但对于本题的规则特殊情况：和均是分段的常数，波形将由若干直线组成，只要计算出在和分段位置时刻的取值，即可获得波形曲线。
将上述的点用直线连接，即可获得如下的波形。
13． 已知信号的波形如题图所示，加性高斯白噪声的功率密度谱为。（1）求出的匹配滤波器的冲激响应波形图；（2）求出匹配滤波器的最大输出信噪比；（3）求输出信噪比达到最大时，输出值的概率密度函数。
题图 2－13
解：1）匹配滤波器的波形图为。
2）噪声平均功率为。
在时刻，匹配滤波器输出的信号最大值。
kat匹配滤波器的最大输出信噪比。
3）时刻，匹配滤波器的输出值，是均值为0，方差为的高斯随机信号，输出信噪比达到最大时，输出值的概率密度函数。
14、已知噪声的自相关函数，为常数。（1）求功率谱密度及其功率；（2）绘出及的图形。
解：1）功率密度谱。
信号平均功率。
2）及的图形。
15、将一个均值为0，功率密度谱为的高斯白噪声加到一个中心角频率为，带宽为的如题图所示的理想带通滤波器上。（1）求滤波器输出噪声的自相关函数；（2）写出输出噪声的一维概率密度函数。
题图 2－15
解：将高斯白噪声加到一个理想带通滤波器上时，滤波输出将是一个窄带高斯白噪声，其概率密度谱为。
由平稳随机过程的自相关函数与功率密度谱的傅氏变换关系式，其自相关函数为。
2．设为广义的平稳随机过程，证明其自协方差函数具有如下的性质：（重复）
解：因为求统计平均的量随机过程可交换，所以有：
另外，由平稳随机过程的性质：为常数，且有和，因此显然有：。
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