习题二答案。
2.1 质量为的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为，当时，，，求当时质点的位矢和速度。解：
于是质点在2s时的速度。
2.2 质量为的质点受力的作用，时该质点以的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是。
a）（b）c）（d）条件不足不能确定。
答案：b2.3 用一种钳子夹住一块质量m=50kg的混凝土砌块起吊（如图示）。已知钳子与砌块接触处的最大静摩擦系数。如果。
1）钳子匀速上升，2）钳子以0.2m/s2的加速度上升，3）钳子在沿水平方向以4m/s的速度行驶时，上端悬挂点突然停止运动（设悬挂点到砌块重心之间的距离），为使砌块不从钳子口滑出，至少必须对砌块施加多大正压力？
解：（1）水平方向，竖直方向，又
2）水平方向，竖直方向，3）物体以的速率，在半径为l的圆周上运动，水平方向，竖直方向，
2.4 一滑轮两边分别挂着和两物体，它们的质量分别为ma=20kg,mb=10kg，今用力将滑轮提起（如图示），当f分别等于（1）98n，（2）196n，（3）392n，（4）784n时，求物体a和b的加速度以及两边绳中的张力（滑轮的质量与摩擦不计）。解：
不合理，说明提不起。
表示仍提不起。
3），表示a不动，b以的加速度上升，
4），取竖直向上为正方向）
2.5质量为质点在流体中作直线运动，，受与速度成正比的阻力（为常数）作用，时质点的速度为，证明：
1）时刻的速度为；
2）由0到t的时间内经过的距离为；
3）停止运动前经过的距离为；
4）证明当时速度减至的。
证明：(1)∵分离变量，得。即
2) 或令t→∞,
3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，故有。
(4)当t=时，其速度为，即速度减至v0的。
2.6 质量为m的物体沿斜面向下滑动。当斜面的倾角为时，物体正好匀速下滑。问：当斜面的倾角增大到时，物体从高为h处由静止滑到底部需要多少时间？
解：当斜面倾角为α时，物体正好匀速下滑，x方向：
y方向： 又。
由以上几式，解得。
当斜面倾角增大至β时，x方向：
y方向： 又。
由以上几式，解得
斜面长 2.7 把一段单位长度质量为的绳子放在平放着的光滑圆木上，端固定在圆木的最高点，绳子等于该圆木的周长，如图所示，圆木的半径为。
1）画出与之间这一小段绳子的受力图，求出绳中张力的表达式。并证明上端的张力；
2）写出圆木作用在与之间小段绳子上的法向力的表达式。对这个水平分量求积分（对整段绳子），其结果等于，试说明这个结果的物理意义。
答案：（略）
2.8 一根绳子，一端被水平的拉着，另一端绕水平棒一周后竖直的吊着质量为的物体，设绳子的质量可略去不计，绳子和棒之间的摩擦系数，如图所示，问当物体处于静止状态时，拉绳子的水平力是多少？
答案： 2.9 一根长为、质量均匀的软绳，挂在一半径很小的光滑木钉上，如图示。开始时。试证当bc=2l/3时，绳的加速度为a=g/3，速度为。
证明：设软绳的线密度为λ，当时，
也可以求解二阶常系数非其次微分方程来证明，或利用机械能守恒来证明）
2.10 一根绳子跨过一定滑轮，一端拴在爬绳人的身上，另一端握在爬绳人的手中，人以自身体重的的力往下拉绳。略去滑轮和绳子的质量以及它们之间的摩擦，绳子的长度不变，求人的加速度和绳中的张力。
解： 人拉绳的力和绳拉人的力是一对作用力和反作用力，∴绳中的张力。
如图，对人做受力分析，，，
2.11 如图，一条长为l的柔软链条，开始时静止地放在一光滑表面ab上，其一端d至b的距离为l-a。试证当d端滑到b点时，链条的速度为。
证明：设链条线密度为λ
也可利用机械能守恒来证明。]
2.12 如图示，用刚性细杆连结两个小球置于一光滑的半球面形碗内当系统平衡时，细杆将。
a）被压缩；（b）被拉伸；（c）既不被压缩也不被拉伸；（d）要视两球质量决定。
答案：a2.13一圆台可绕其轴在水平面内转动，圆台半径为，甲、乙两物体质量分别为与()，它们与台面的静摩擦系数都是，现用一根长度的绳子将它们连接：
1）将甲放在圆心，乙放在距圆心为处，要使物体与圆台不发生相对滑动，圆台旋转的最大角速度是多少？
2）如将甲与乙互换位置，（1）的结果又将如何？
3）如果两物体均不放在圆心但连线经过转轴时，又将如何？
解：如图所示。
1）对于m1，，对于m2，又。
2），3）若系统有向m2一边运动的趋势时，若系统有向m1一边运动的趋势时，2.14 质量m为的小球沿半球形碗的光滑的内面，正以角速度在一水平面内作匀速圆周运动，碗的半径为r，求该小球作匀速圆周运动的水平面离碗底的高度。
解：在竖直方向：
在水平方向：
则。2.15 一顶角为的空心光滑圆锥，底面向上倒置着，轴与地面垂直。证明：在此圆锥内表面上绕圆锥轴作圆周运动的质点与轴的距离为。 其中是质点每秒钟绕轴旋转的圈数。
证明：在y方向：
在x方向：
由（1）、（2）、（3）得
2.16 一辆汽车驰入曲率半径为的弯道，弯道倾斜一角度，轮胎和路面之间的摩擦系数为，求汽车不做倾向滑动时的最大和最小速率。
解：（1）受力分析如图，此时有最小速度。
x方向： y方向：
2) 受力分析如图，此时有最大速度。
x方向： y方向：
2.17 某物体上有一变力f作用，它随时间变化的关系如下：在0.
1s内，f均匀地由0增加到20n；又在以后0.2s内，f保持不变；再经0.1s，f又从20n均匀地减少到0。
（1）画出f-t图；
（2）求这段时间内力的冲量及力的平均值；
（3）如果物体的质量为3kg，开始速度为1m/s，与力的方向一致，问在力刚变为0时，物体速度为多大？
解：（1）如图所示。
根据定积分的定义，用计算面积的方法）
2.18 一颗子弹由枪口射出时速率为v0 m s-1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为f=(a-bt)n（a,b为常数），其中t以秒为单位：
1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；
2）求子弹所受的冲量。
3）求子弹的质量。
解：(1)由题意，子弹到枪口时，有f=(a-bt)=0,得t=
2)子弹所受的冲量，将t=代入，得。
3)由动量定理可求得子弹的质量
2.19 一质量为的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为求质点的动量及t=0到时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。
解：质点的动量为。
p=mv=mω(-asinωti+bcosωtj)
将t=0和t=分别代入上式，得。
p1=mωbj,p2=-mωai,则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为。
i=δp=p2-p1=-mω(ai+bj)
2.20 作用在质量为10kg的物体上的力为，式中的单位是。
1）求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量。
2）为了使这力的冲量为200ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度的物体，回答这两个问题。
解：(1)若物体原来静止，则。
p1= i kg·m·s-1,沿x轴正向，若物体原来具有-6 m·s-1初速，则。
于是。同理，δv2=δv1,i2=i1
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．
2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即。
亦即t2+10t-200=0
解得t=10 s，(t′=-20 s舍去)
2.21 水力采煤，是用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层，如图所示。设水柱直径d=30mm，水速v=56m/s，水柱垂直射在煤层表面上，冲击煤层后的速度为零，求水柱对煤的平均冲力。
解：本题注意作用力与反作用力，以水柱为研究对象，
所以水柱对煤的平均冲力为。
2.22 一辆装煤车以的速率从煤斗下面通过，煤粉通过煤斗以每秒的速率竖直注入车厢。如果车厢的速率保持不变，车厢与钢轨间摩擦忽略不计，求牵引力的大小。
解：时， 2.23 一小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。
解：由动量守恒。
又， 如图，船的长度。
即船头相对岸边移动。
2.24 质量为的子弹以的速度击入一木块后随木块一起以的速度前进，（以子弹的速度方向为轴的正方向）在此过程中木块所受的冲量为。
a）；（b）；（c）；（d）。
答案：a2.25 三艘质量相等的小船鱼贯而行，速度均等于v。
如果从中间船上同时以速度u把两个质量均为m的物体分别抛到前后两船上，速度u的方向和v在同一直线上。问抛掷物体后，这三艘船的速度如何变化？
解：设船质量均为m，抛掷物体后，三船的速度为设船在水上的阻力为零，故在水平方向上动量守恒。当时，从中间船向前可抛出物体m，由
2.26 一炮弹质量为，以速度飞行，其内部炸药使此炮弹**为两块，**后由于炸药使弹片增加的动能为，且一块的质量为另一块质量的倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为，。
证明：设一块为m1，则另一块为m2，m2=km1及m1+m2=m
于是得。又设m1的速度为v1,m2的速度为v2，则有。
mv=m1v1+m2v2
联立①、③解得。
v1=(k+1)v-kv2
将④代入②，并整理得。
于是有。将其代入④式，有。
又，题述**后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取。
第二章习题解答
2.1 解均匀扇形薄片，取对称轴为轴，由对称性可知质心一定在轴上。有质心公式。设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元，又因为。对于半圆片的质心，即代入，有。2.2 解建立如图2.2.1图所示的球坐标系。把球帽看成垂直于轴的所切层面的叠加 图中阴影部分所示 设均匀球体的密度为。则 由对称性可知，此球帽的...
第二章习题解答
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第二章 习题解答
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