1．选择题。
1）设，且，则（ ）
a) (b) (c) (d)
解应选(b)。由题设，从而，故选(b)。
2）设随机变量，则方程没有实根的概率为（ ）
a) (b) (c) (d)
解应选(a)。因为。
故选(a)。
3）设随机变量与同分布，且的概率密度为，设与相互独立，且，则（ ）
abcd)
解应选(a)。依题设知，，由于与同分布，因此。
由与相互独立，且得。
即，解之得，（舍），从而，故选(a)。
4）在下述函数中，可以作为某随机变量的分布函数的为（ ）
ab) cd)，其中。
解应选(b)。可以直接验证满足分布函数的三条性质，所以是分布函数。故选(b)。
或对于有，故(a)错误，对于有，故(c)错误；对于，其中，由于可能不满足非负性条件，例如取为：，则，但不是分布函数，故(d)错误。
5）设连续型随机变量的概率密度和分布函数分别为和，则（ ）
a) (b) (c) (d)
解应选(c)。由于，因此由概率的单调性及分布函数的定义有，，故选(c)。
2．填空题。
1）某人用一台机器接连独立地制造了3个同种零件，第个零件是不合格品的概率为，以表示3个零件中不合格品的个数，则。
解设表示“第个零件是合格品”，，则，，从而。
2）设随机变量的密度函数为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，则 。
解设，则，则依题设，从而。
3）假设，且，，则 。
解由于。因此，从而。
4）某射手有3发子弹，射击一次命中的概率为，如果命中了就停止射击，否则一直独立射击到子弹用尽，则耗用子弹数的分布列为 。
解的可能取值为，，即的分布列为。
5）设随机变量的概率密度为，则的概率密度为 。
解 （公式法）由函数严格单调可微，其反函数为，，故的概率密度为。
3．解答题。
1）假设一电路装有三个同种电子元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为的指数分布，当三个元件都无故障工作时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作时间的概率分布。
解以，表示第个元件无故障工作的时间，则相互独立同分布，其分布函数为。
设是的分布函数，，当时，，当时，
所以。即服从参数为的指数分布。
答案：服从参数为的指数分布。
2）设电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.
2，假设电源电压服从正态分布，试求（）该电子元件损坏的概率；（）该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率。
解设，表示“电子元件损坏”，则。
）由全概率公式，得。
）由贝叶斯公式，得。
答案：（）0.0642；（）0.009
3）设随机变量的概率密度为。（）求常数；（）求的分布函数；（）在次独立观察中，求的值至少有一次小于0.5的概率；（）求的概率密度。
解 （）由，得。
故。）当时，；
当时，；当，，故。
）由于，设表示次独立观察中事件出现的次数，则，故所求的概率为。
）由于函数严格单调可微，其反函数为，，当时，，故的概率密度为。
4）在数值计算中由于处理小数位数而四舍五入引起舍入误差，一般可认为是一个服从均匀分布的随机变量，如果小数点后面第五位按四舍五入处理，求（）的概率密度；（）误差在0.00003与0.00006之间的概率。
解 （）由于应对小数点后面第五位四舍五入计算，故舍入误差服从上的均匀分布，因此的概率密度为。
5）向直线上投随机点，已知随机点落入区间内的概率分别为0.2，0.5，0.
3，并且随机点在上分布是均匀的，假设随机点落入区间内得0分，落入内得1分，落入内的上得分，试求所得分数的分布函数。
解以和也分别表示事件“随机点落入区间上”和“随机点落入区间上”，则。
当时，；当时，
当，，故。
第二章习题解答
2.1 解均匀扇形薄片，取对称轴为轴，由对称性可知质心一定在轴上。有质心公式。设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元，又因为。对于半圆片的质心，即代入，有。2.2 解建立如图2.2.1图所示的球坐标系。把球帽看成垂直于轴的所切层面的叠加 图中阴影部分所示 设均匀球体的密度为。则 由对称性可知，此球帽的...
第二章习题解答
第二章。思考题。1 试写出导热傅里叶定律的一般形式，并说明其中各个符号的意义。答 傅立叶定律的一般形式为 其中 为空间某点的温度梯度 是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向 为该处的热流密度矢量。2 已知导热物体中某点在x,y,z三个方向上的热流密度分别为及，如何获得该点的热密度矢量...
第二章 习题解答
高等数学习题解答。第二章导数与微分 惠州学院数学系。参 1.设，试按导数定义求。解 2.设 为常数 试按导数定义求。解 3.用定义证明。解 f x 即 cos x sin x 4.求下列函数的导数 解 5.将一个物体铅直上抛，经过时间 单位 后，物体上升高度为 单位 试求 1 物体在1到1 t这段时...