课时训练47 双曲线。
说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟。
一、选择题（每小题6分，共42分）
1.若方程=-1表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是（ ）
a.（0，1b.（1，2c.（1d.以上都不对。
答案：c解析： =1，又焦点在y轴上，则m-1>0且|m|-2>0,故m>2，c=>1.
2.(2010江苏南京一模，8)若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于（ ）
abcd.
答案：c解析：设双曲线方程为=1,则f（c,0）到y=x的距离为=2ab=2a, e=.
3.(2010湖北重点中学模拟，11)与双曲线=1有共同的渐近线，且经过点（-3, 4）的双曲线方程是（ ）
a. =1b. =1
c. =1d. =1
答案：a解析：设双曲线为=λ,1,故选a.
4.设离心率为e的双曲线c： =1（a>0,b>0）的右焦点为f，直线l过点f且斜率为k，则直线l与双曲线c在左、右两支都相交的充要条件是（ ）
答案：c解析：双曲线渐近线的斜率为±，直线l与双曲线左、右两支都相交，则-1.
5.下列图中的多边形均为正多边形，m、n是所在边上的中点，双曲线均以图中的f1、f2为焦点，设图①②③中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3,则( )
e2><>e2
答案：d解析：e1=+1,对于②，设正方形边长为2，则|mf2|=，mf1|=1，|f1f2|=2,e2=;
对于③设|mf1|=1,则|mf2|=,f1f2|=2,e3=+1.
又易知+1>,故e1=e3>e2.
6.(2010湖北重点中学模拟，11)已知椭圆e的离心率为e,两焦点为f1、f2，抛物线c以f1为顶点，f2为焦点，p为两曲线的一个交点，若=e,则e的值为( )
abcd.
答案：a解析：设p（x0,y0）,则ex0+a=e(x0+3c) e=.
7.(2010江苏南通九校模拟，10)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为f，右准线与一条渐近线交于点a，△oaf的面积为(o为原点)，则两条渐近线的夹角为( )
a.30b.45c.60d.90°
答案：d解析：a（）,s△oaf=··c=a=b,故两条渐近线为y=±x,夹角为90°.
二、填空题（每小题5分，共15分）
8.已知椭圆=1与双曲线=1(m>0,n>0)具有相同的焦点f1、f2，设两曲线的一个交点为q，∠qf1f2=90°，则双曲线的离心率为。
答案： 解析：∵a2=25,b2=16,∴c==3.
又|qf1|+|qf2|=2a=10,|qf2|-|qf1|=2m,|qf2|=5+m,|qf1|=5-m.
又|qf2|2=|qf1|2+|f1f2|2，即（5+m）2=(5-m)2+62m=,e==.
9.(2010湖北黄冈一模，15)若双曲线=1的一条准线恰为圆x2+y2+2x=0的一条切线，则k等于。
答案：48解析：因圆方程为(x+1)2+y2=1,故-=-2,即=2,k=48.
10.双曲线-y2=1(n>1)的两焦点为f1、f2，p在双曲线上，且满足|pf1|+|pf2|=2,则△pf1f2的面积为。
答案：1解析：不妨设|pf1|>|pf2|,则|pf1|-|pf2|=2，故|pf1|=,pf2|=,又|f1f2|2=4（n+1）=|pf1|2+|pf2|2，∴△pf1f2为rt△.
故=|pf1|·|pf2|=1.
三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）
11.若双曲线=1(a>0,b>0)的右支上存在与右焦点和左准线距离相等的点，求离心率e的取值范围。
解析：如右图，设点m（x0,y0）在双曲线右支上，依题意，点m到右焦点f2的距离等于它到左准线的距离|mn|，即。
mf2|=|mn|.
=e,∴=e, =e.
x0=.x0≥a,∴≥a.
≥1,e＞1,∴e2-e>0.
1+e≥e2-e.∴1-≤e≤1+.
但e>1,∴112.已知△p1op2的面积为，p为线段p1p2的一个三等分点，求以直线op1、op2为渐近线且过点p而离心率为的双曲线方程。
解析：以o为原点，∠p1op2的角平分线为x轴建立如右图所示的直角坐标系，设双曲线方程为=1(a>0,b>0),由e2==1+()2=()2得。
两渐近线op1、op2方程分别为y=x和y=-x，设点p1（x1, x1），点p2（x2,- x2）(x1＞0,x2＞0),则点p分所成的比λ==2.得p点坐标为(),即（）,又点p在双曲线=1上。
所以=1,即（x1+2x2）2-(x1-2x2)2=9a2.
8x1x2=9a2. ①
又|op1|=x1,op2|=x2,sinp1op2=，=op1|·|op2|·sinp1op2=·x1x2·=，即x1x2=.
由①②得a2=4,∴b2=9,故双曲线方程为=1.
13.(2010江苏扬州中学模拟，23)已知倾斜角为45°的直线l过点a（1，-2）和点b，其中b在第一象限，且 |ab|=3.
1）求点b的坐标；
2）若直线l与双曲线c: -y2=1(a>0)相交于不同的两点e、f，且线段ef的中点坐标为（4，1），求实数a的值。
解：（1)直线ab方程为y=x-3,设点b（x,y），由及x>0,y>0,得x=4,y=1,∴点b的坐标为（4，1）.
2）由得。-1）x2+6x-10=0.
设e（x1,y1）,f(x2,y2),则x1+x2==4,得a=2,此时，δ>0,∴a=2.
14.如右图，f1、f2分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点，点a的坐标是（,-点b在双曲线上，且·=0.
1)求点b的坐标；
2）求证：∠f1ba=∠f2ba.
1）解析：依题意知f1（-2,0）,f2(2,0), a(,-
设b（x0,y0）,则=(,x0-,y0+),0，(x0-)-y0+)=0,即3x0-y0=2.
又∵x02-y02=1,x02-(3x0-2)2=1,2x0-3)2=0.
x0=,代入3x0-y0=2,得y0=.
点b的坐标为（,）
2）证明bf2
cosf1ba=,cosf2ba=,∠f1ba=∠f2ba.
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