回归分析。
教学重点：熟练掌握回归分析的步骤；各相关指数、建立回归模型的步骤；通过**使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。
教学难点：求回归系数 a , b ；相关指数的计算、残差分析；了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较。
一．复习引入。
回归分析中涉及哪些相关概念？
复习1：函数关系是一种关系，而相关关系是一种关系。
复习2：回归分析是对具有关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤。
复习3:对于一组具有线性相关关系的数据：
我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：
其中，（）成为样本点的中心。
注：回归直线过样本中心。为什么？
(推导过程不要求)
回归分析的基本步骤：
1) 画出两个变量的散点图。
2) 求回归直线方程。
3) 用回归直线方程进行预报。
二．回归分析的基本应用。
1.题型一。回归分析的基本应用。
例1. 从某大学中随机选取 8 名女大学生，其身高和体重数据如表
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为 172 cm 的女大学生的体重．
解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量 x ，体重为因变量 y .
作散点图(图3 . 1 一 1)
从图3. 1一1 中可以看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系．
根据**中的公式（1）和（2 ) 可以得到。 于是得到回归方程。
因此，对于身高172 cm 的女大学生，由回归方程可以预报其体重为。
( kg )
是斜率的估计值，说明身高 x 每增加1个单位时，体重y就增加0.849 位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系．
2.相关系数。
虽然计算出回归直线，如何描述它们之间线性相关关系的强弱？
在必修 3 中，我们介绍了用相关系数；来衡量两个变量之间线性相关关系的方法．本相关系数的具体计算公式为。
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；
r的绝对值接近于0时，表明两个变量之间几乎不存**性相关关系．
通常，当r的绝对值大于0. 75 时认为两个变量有很强的线性相关关系．
在本例中，可以计算出r =0. 798．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的．
a变式1某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程＝x＋中的约等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )
a．63.5万元 b．64.5万元。
c．65.5万元 d．66.0万元。
a变式2已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ ）
a. 变式3已知直线回归方程为，则变量增加一个单位时（ ）
a. 平均增加个单位 b. 平均增加个单位c. 平均减少个单位 d. 平均减少个单位。
a变式训练4：
某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
1)画出散点图；
2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；
3)一名学生的数学成绩是96，试**他的物理成绩．
思路点拨】 先画散点图，分析物理与数学成绩是否有线性相关关系，若相关再利用线性回归模型求解预报变量．
解】 (1)散点图如图：
iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.
所以＝＝≈0.625.
所以y对x的回归直线方程是＝0.625x＋22.05.
3)x＝96，则即可以**他的物理成绩约是___
问题： 1.身高为172cm的女大学生，体重一定是上述预报值吗？
2. **出的体重与实际不一致，那么它还有参考价值吗？
三、随机误差解释变量与预报变量残差相关指数。
1、随机误差。
由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一条直线的附近，所以身高和体重的关系可用下面的线性回归模型来表示：
这里 a 和 b 为模型的未知参数，e是 y 与之间的误差．通常e为随机变量，称为随机误差，这样线性回归模型的完整表达式为：
思考： e怎样，预报真实值y的精度越高？当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成什么形式？
产生随机误差项e的原因是什么？
1存在观测误差．
2用的确定性函数不恰当引起的误差；
3.忽略了其他因素的影响；
2. 解释变量与预报变量。
思考 y是由x唯一决定的吗？
自变量x只能解释部分y的变化。我们把自变量x称作解释变量，因变量y称作预报变量。
吸烟与患癌症之间谁是解释变量，谁是预报变量。？
根据数学成绩预报物理成绩，谁是解释变量，谁是预报变量？
3、残差、残差分析、残差图。
e是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差呢？
残差其估计值为，称为相对应点的残差 。（实际值-估计值）
思考 ：残差与准确度什么关系呢？
残差分析：通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据（存在观测误差）
残差图：以残差为纵坐标，以样本编号，或身高数据，或体重估计值等为横坐标，作出的图形称为残差图。
思考：残差图越怎样才说明模型拟合越准确？
观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型（用的确定性函数不恰当引起的误差）比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。
残差的应用．
表3一 2 列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据．
从图3 . 1 一 3 中可以看出，第 1 个样本点和第 6 个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误．如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因．
另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适。这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．
4.相关指数。
另外，我们还可以用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：
问题：越大越好还是越小越好？
显然，取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．
**性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．越接近于1，表示回归的效果越好（因为越接近于1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）．
如果对某组数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析，也可以通过比较几个，选择大的模型作为这组数据的模型．
在例 1 中， =0. 64 ，表明“女大学生的身高解释了64 ％的体重变化”，或者说“女大学生的体重差异有 64 ％是由身高引起的”.
概念辨析 . 两个变量与的回归模型中，通常用来刻画回归的效果，则正确的叙述是。
a. 越小，残差平方和小 b. 越大，残差平方和大
c. 于残差平方和无关 d. 越小，残差平方和大
四．回归分析的完整步骤。
一般地，建立回归模型的基本步骤为：
1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存**性关系等） ;
3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程 y=bx+a )
4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）;
5）得出结果后分析是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
注意用身高预报体重时，需要注意下列问题：
1．回归方程只适用于我们所研究的样本的总体．例如，不能用女大学生的身高和体重之间的回归方程，描述女运动员的身高和体重之间的关系．同样，不能用生长在南方多雨地区的树木的高与直径之间的回归方程，描述北方干旱地区的树木的高与直径之间的关系．
2．我们所建立的回归方程一般都有时间性．例如，不能用 20 世纪 80 年代的身高体重数据所建立的回归方程，描述现在的身高和体重之间的关系．
3．样本取值的范围会影响回归方程的适用范围．例如，我们的回归方程是由女大学生身高和体重数据建立的，那么用它来描述一个人幼儿时期的身高和体重之间的关系就不恰当（即在回归方程中，解释变量 x 的样本的取值范围为［155cm,170cm〕 ，而用这个方程计算 x-70cm 时的y值，显然不合适．)
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