江苏省扬州中学2012－2013学年第一学期。
高二数学月考试卷 2012.12.8
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1．已知命题：， 则 ▲
2．关于某设备的使用年限与所支出的维修费用（万元）
有如下统计资料，若由资料知对呈线性相关关系，且线性回归方程为，则= ▲
3, 已知。
4.平面上满足约束条件的点（x，y）形成的区域为d，区域d关于直线y=2x对称的区域为e，则区域d和区域e中距离最近的两点的距离为▲
5．如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数h的值是。
6. 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点。若的面积为，则直线的斜率为。
7. 用分层抽样方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有300人，则该学校这三个年级共有 ▲ 人．
8. 右图是2023年“隆力奇”杯第13届cctv青年歌手电视大奖赛上。
某一位选手的部分得分的茎叶统计图，则该选手的所有得分数据的中位数与众数之和为。
9．“a+b6”是“a2或b4”成立的 ▲ 条件。(填“充分不必要”、
必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)
10. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分。
如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从中随机抽取一个号码为0010，则第41个号码为。
11. 设ab是平面的斜线段，a为斜足，若点p在平面内运动，使得△abp的面积为定值，则动点p的轨迹是 ▲
12. 已知抛物线到抛物线的准线距离为d1，到直线的距离为d2，则d1+d2的最小值是。
13．已知a、b、c是椭圆上的三点，点f（3，0）,若。
则 ▲ 14．在平面直角坐标系xoy中，设a、b、c是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数，使得，则的取值范围是 ▲
二、解答题（本大题共6小题，共90分）。
15.（14分）从某校参加2023年全国高中数学联赛预赛的450名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据．
1）根据表中已知数据，你认为在①、②处的数值分别为。
2）补全在区间 [70，140] 上的频率分布直方图；
3）若成绩不低于100分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？
16. （14分）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b．
1）求直线ax＋by＋5=0与圆x2＋y2=1相切的概率；
2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
17. （14分）已知抛物线的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线：的一个焦点且垂直于的两个焦点所在的轴，若抛物线与双曲线的一个交点是．
1）求抛物线的方程及其焦点的坐标；
2）求双曲线的方程及其离心率．
18. （16分）如图，已知圆o的直径ab=4，定直线l到圆心的距离为4，且直线l⊥直线ab。点p是圆o上异于a、b的任意一点，直线pa、pb分别交l与m、n点。
试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：
（1）若∠pab=30°，求以mn为直径的圆方程；
（2）当点p变化时，求证：以mn为直径的圆必过圆o内的一定点。
19.（16分）命题p： ，其中满足条件：
五个数的平均数是20，标准差是； 命题q：m≤t≤n ，其中m,n满足条件：点m在椭圆上，定点a(1,0)，m、n分别为线段am长的最小值和最大值。
若命题“p或q”为真且命题“p且q”为假，求实数t的取值范围。
20. （16分）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
1）求椭圆的标准方程；
2）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．
i）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；
ii）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．
命题：高二数学备课组。
高二数学月考试卷答案2012.12
1. 2. 3.
3 4. 5. 5 6.
7. 900． 8.170 9.
充分不必要10. 0810 11. 椭圆 12.
13. 14、
15．解：（1）50；0.04；0.10．
（2）如图． （3）在随机抽取的名同学中有名出线，．
答：在参加的名中大概有207名同学出线．
16. 解：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．∵直线ax＋by＋c=0与圆x2＋y2=1相切的充要条件是即：
a2＋b2=25，由于a,b∈｛1，2，3，4，5，6｝
满足条件的情况只有a=3,b=4,c=5；或a=4,b=3,c=5两种情况．
直线ax＋by＋c=0与圆x2＋y2=1相切的概率是
2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．
三角形的一边长为5 ∴当a=1时，b=5，（1，5，51种。
当a=2时，b=5，（2，5，51种
当a=3时，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种
当a=4时，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种
当a=5时，b=1，2，3，4，5，6， （5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种
当a=6时，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种故满足条件的不同情况共有14种答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为．
17. 解：（1）由题意可设抛物线的方程为． 把代入方程，得因此，抛物线的方程为于是焦点 （2）抛物线的准线方程为，所以而双曲线的另一个焦点为，于是因此， 又因为，所以．于是，双曲线的方程为因此，双曲线的离心率。
18. 解：建立如图所示的直角坐标系，⊙o的方程为，直线l的方程为。
（1）∵∠pab=30°，∴点p的坐标为，∴，将x=4代入，得。∴mn的中点坐标为（4，0），mn=。∴以mn为直径的圆的方程为。
同理，当点p在x轴下方时，所求圆的方程仍是。（2）设点p的坐标为，∴（将x=4代入，得，。∴mn=。
mn的中点坐标为。
以mn为直径的圆截x轴的线段长度为为定值。∴⊙必过⊙o 内定点。
19.解：根据题设可求得，命题p等价于： 或；命题q等价于：
①p真q假综上所述满足条件的m范围为或或。
20. 解析：（1）由题意得又，解得，．因此所求椭圆的标准方程为．
2）（i）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，．
解方程组得，所以．
设，由题意知，所以，即，因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即，因此，又，所以，故．又当或不存在时，上式仍然成立．综上所述，的轨迹方程为．
ii）当存在且时，由（1）得，由解得，，所以，．
由于。当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．
当，．当不存在时，．综上所述，的面积的最小值为．
解法二：因为，又，当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．
当，．当不存在时，．
综上所述，的面积的最小值为．
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