高二数学午间训练

常熟市浒浦高级中学午间训练（12） 姓名班级

1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在r上存在极值，则实数a的取值范围是。

2．已知复数（为虚数单位），计算。

3．将复数(是虚数单位)写成，则 ．

4.在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则展开式中x的一次项是。

5.若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 ．

6. 已知函数f(x)＝－x3＋x2＋3x＋a.

1) 求f(x)的单调减区间；

2) 若f(x)在区间[－3,4]上的最小值为，求实数a的值．

7．已知数列满足且。

1） 计算的值，由此猜想数列的通项公式，并给出证明；

2） 求证：当时，

参***。1.(－3)∪(3，＋∞解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，δ＝4a2－36＞0，解得a＞3或a＜－3.

2. 答案：

5. 解析：由题意知该函数的定义域为(0，＋∞由f′(x)＝2ax＋.

因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为在x＞0范围内，导函数f′(x)＝2ax＋存在零点．等价于方程2ax＋＝0在(0，＋∞内有解，显然可得a＝－∈0)．

6. 解：(1) ∵f′(x)＝－x2＋2x＋3，令f′(x)＜0，则－x2＋2x＋3＜0.

解得x＜－1或x＞3.∴ 函数f(x)的单调减区间为(－∞1)∪(3，＋∞

2) 列表如下：

f(x)在(－3，－1)和(3,4)上是减函数，在(－1,3)上是增函数．

又∵ f(－1)＝a－，f(4)＝a＋， f(－1)＜f(4)．

f(－1)是f(x)在[－3,4]上的最小值．

a－＝，解得a＝4.

7. 证明：⑴，猜想2分。

当时，，结论成立；

②假设当时，结论成立，即，则当时，即当时，结论也成立，由①②得，数列的通项公式为．5分。

原不等式等价于．

证明：显然，当时，等号成立；

当时， 综上所述，当时10分。

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