一、命题、充分条件与必要条件。
知识点一：命题。
1. 定义：
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题。
1）命题由题设和结论两部分构成。 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等。
2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。 数学中的定义、公理、定理等都是真命题
3）命题“”的真假判定方式：
若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如：一定推出。
若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可。
注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题。
知识点二：四种命题。
1. 四种命题的形式：
用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：
原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；
否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p.
2. 四种命题的关系。
①原命题逆否命题。它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一。
②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径。
除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系。
命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。
知识点三：充分条件与必要条件。
1. 定义：
对于“若p则q”形式的命题：
从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于区分命题的条件与结论之间的关系．
①若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
②若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
若且，则是成立的必要不充分条件；
④若既有pq，又有qp，记作pq，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.
若且，则是成立的既不充分也不必要条件．
从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断、相应的集合关系．
建立与、相应的集合，即成立，成立．
若，则是的充分条件，若，则是成立的充分不必要条件；
若，则是的必要条件，若，则是成立的必要不充分条件；
若，则是成立的充要条件；
若ab且ba，则是成立的既不充分也不必要条件．
2. 理解认知：
1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断。
2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据。“当且仅当”.“有且仅有”.
必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语。
3. 判断命题充要条件的三种方法。
1)定义法：
2)等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法。
3)利用集合间的包含关系判断，比如ab可判断为ab；a=b可判断为ab，且。
ba，即ab.如图：“”且”是的充分不必要条件。”“是的充分必要条件。
题型一四种命题的关系及真假。
例1． 已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是 (
a．否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞上是减函数，则m>1”是真命题。
b．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞上是增函数”是假命题。
c．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞上是减函数”是真命题。
d．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞上不是增函数”是真命题。
思维启迪：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．
答案 d解析命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞上不是增函数”是真命题．
**提高 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．
例 2. 写出命题“已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。
解析：逆命题：已知是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题；
否命题：已知是实数，若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题；
逆否命题：已知是实数，若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题。
题型二充要条件的判断。
例3 已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是。
a．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点。
b．p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数。
c．p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β
d．p：a∩b＝a；q：au，bu，ubua
思维启迪：首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断．
答案 d解析对于a，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，可得δ＝m2－4(m＋3)>0，从而可得m<－2或m>6.所以p是q的必要不充分条件；
对于b，由＝1f(－x)＝f(x)y＝f(x)是偶函数，但由y＝f(x)是偶函数不能推出＝1，例如函数f(x)＝0，所以p是q的充分不必要条件；
对于c，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；
对于d，由a∩b＝a，知ab，所以ubua；
反之，由ubua，知ab，即a∩b＝a.
所以pq.综上所述，p是q的充分必要条件的是d.
例4 已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件．现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；⑤是的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ）
abcd.②④
分析：本题命题及其关系较多，如果直接解决则比较麻烦，可以用符号“”、等符号表示，简化题意，解决方便．
解：由题意可知：，且，．
所以，①正确；，且，②正确；，③不正确；
且，④正确；，⑤不正确．
故选b．题型三利用充要条件求参数。
例5 已知集合m＝，p＝．
1)求实数a的取值范围，使它成为m∩p＝的各项都不为零，求证：对任意n∈n*且n≥2，都有＋＋…成立的充要条件是为等差数列。
证明】(1)(充分性)若为等差数列，设其公差为d，则。
2)(必要性)若＋＋…则＋＋…两式相减得＝－a1＝nan－(n－1)an＋1.①
于是有a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2，②
由①②得nan－2nan＋1＋nan＋2＝0，所以an＋1－an＝an＋2－an＋1(n≥2).
又由＋＝a3－a2＝a2－a1，所以n∈n*,2an＋1＝an＋2＋an，故为等差数列。
点拨】按照充分必要条件的概念，分别从充分性和必要性两方面进行探求。
二、逻辑联结词和全称、特称命题。
一、逻辑联结词：
1、定义：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。
简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题。
复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。
2．逻辑符号：
或”的符号是“∨”例如“p或q”可以记作“p ∨q”；
且”的符号是“∧”例如，“p且q”可以记作“p∧q”；
非”的符号是“┑”例如，“非p”可以记作“┑p”．
二、复合命题的构成形式的表示：
如果用 p, q, r, s……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：
即：p或q 记作 pq p且q 记作 pq 非p (命题的否定) 记作 p
释义：“p或q”是指p,q中的任何一个或两者。例如，“xa或xb”，是指x可能属于a但不属于b（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于a但属于b，x还可能既属于a又属于b（即xab）；又如在“p或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真。
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