五十七中高二数学月考 2016.2 班级姓名。
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。 把答案填在题中横线上。
9. 命题“，”的否定是___
10. 已知直线：，：若∥，则实数___
11. 已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为___
12. 如图，正方体中，直线和。
所成角的大小为___直线和平面。
所成角的大小为___
13. 在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量是，且平面过点。若是平面上任意一点，则点的坐标满足的方程是。
14. 平面内到定点和定直线的距离之和等于的动点的轨迹为曲线．关于曲线的几何性质，给出下列三个结论：
曲线关于轴对称；
若点在曲线上，则；
若点在曲线上，则。
其中，所有正确结论的序号是___
三、解答题：本大题共6小题，共80分。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知抛物线的准线方程是。
ⅰ）求抛物线的方程；
ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：
16.如图，在直三棱柱中，，，点在棱上，且。
ⅰ）求证：；
ⅱ）求二面角的大小。
17.如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图和左视图如图2所示．
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求证：∥平面；
ⅲ）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点；若不存在，说明理由．
18.如图，已知四边形是椭圆的内接平行四边形，且，分别经过椭圆的焦点，.
ⅰ）若直线的方程为，求的长；
ⅱ）求平行四边形面积的最大值。
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷。
高二数学（理科）参***及评分标准 2016.1
一、选择题bccabdca
二、填空题：
三、解答题：
ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为。
所以， 解得。
所以抛物线的方程为。
ⅱ）证明：设，.
将代入，消去整理得。
所以。 由，，两式相乘，得。
注意到，异号，所以。
所以直线与直线的斜率之积为。即。
ⅰ）证明：因为直三棱柱，所以，.
又，所以，，两两互相垂直。 【1分。
如图，以为原点，建立空间直角坐标系。
则，，，由，得。
所以，.因为。
所以。ⅱ）解：，.
设平面的一个法向量为，则所以取，得。 又平面的一个法向量为。
所以因为二面角的平面角是锐角，所以二面角的大小是。
ⅰ）证明：由俯视图可得，所以。
又因为平面，所以。
所以平面。ⅱ）证明：取上一点，使，连结。
由左视图知，所以。
在△中，易得，所以，又， 所以，．
又因为∥，，所以∥，．
所以四边形为平行四边形，所以。
因为平面，平面，
所以直线∥平面。
ⅲ）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为．
证明如下：因为平面，，建立如图所示的空间直角坐标系．
所以． 设，其中。
所以，．要使与所成角的余弦值为，则有．
所以，解得或，均适合．
故点位于点处，或中点处时，均符合题意。
ⅰ）解：由解得。
所以两点的坐标为和。
所以。ⅱ）解：① 当直线的斜率不存在时，此时易得，所以平行四边形的面积为。
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将其代入椭圆方程，整理得。
设点，，，则。
连结，则平行四边形的面积。 又。所以。
综上，平行四边形面积的最大值是。
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