高二理科数学周末练习卷 （第7周）2013.10.18
1、选择题（每小题 5分，共40分）
1. 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上。
的图象可能是( )
abcd．2. 如图阴影部分是y=与曲线在第一象限围成的图形，其面积是( )
3. 函数的最大值是( )
a. 0b. 1cd.
4. 关于x的方程的解个数不可能是( )
a. 0b. 1 c. 2 d. 3
5. 函数在区间[3,5]为增函数，则的取值范围是( )
abc. d.
6. 函数的最小值是( )
a. 1b. 2c. 4d. 9
8. 存在过点的直线与曲线和都相切，则等于( )
a．或 b．或 c．或 d．或。
2、填空题（每小题5分，共30分）
9. 根据定积分意义可知。
10. 函数的单调减区间为。
11. 求函数的值域。
12. 已知函数在x＝－1时有极值0，则mn
13. 设函数，函数的最小值是。
14. .函数有且仅有一个零点，则的取值范围是。
三、解答题：(要求写出详细过程）
15. 设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过p（1,0），且在p点处的切斜线率为2．
i）求a，b的值；（ii）证明：≤2x-2．
16. 已知函数r, ,
（1）当时，求函数的定义域、单调区间与极值。
（2）求函数的单调区间；
17、已知函数．
ⅰ）求函数的单调区间与极值；
ⅱ）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．
18. 已知函数。
1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；
2）当时，求在上的最大值和最小值；
3）当时，求证：当时都有 .
19. 已知为常数，函数，
1）讨论是否存在极值点，若存在则求之；
2) 证明不存在小于0的极值。（3）（附加题）判断有几个零点。
20附加题： 设函数f(x) =x2 + bln(x+1),1）若对定义域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求实数b的值；
2）若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；
3）若b = 1,，证明对任意的正整数n，不等式都成立。
高二理科数学周末练习卷答案 （第7周）2013.10.18
解： 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上。
各点处的斜率是递增的，由图易知选a. 注意c中为常数噢。
2. b. 解，由对称性易知阴影部分面积是，答案b
3. c. 解： =g(t)=,
选c项。4．d. 解： 其解不可能是3个。选d
5. b. 解，选b
6. d. 解：
7. a. 解：易知，
解析】设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选。
9. 答。 解：表示圆在x轴上方部分与x轴围成的半圆面积=2
10.答 【解析】，由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
11. 答案解：令，则．
因为所以值域是．
12.答m＝2，n＝9.解析 ＝3x2＋6mx＋n由题意，＝3－6m＋n＝0
f(－1)＝－1＋3m－n＋m2＝0解得或。
但m＝1，n＝3时，＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成，即x＝－1时不是f(x)的极值点，应舍去。
13. 答解：,为减函数，
14. 解：
因为当时， ;当时， ;当时， ;
所以当时，取极大值 ; 当时，取极小值 ;
故当或时， 方程仅有一个实根。 解得或。
三、解答题。
15. 设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过p（1,0），且在p点处的切斜线率为2．
i）求a，b的值；（ii）证明：≤2x-2．
解析】20．解：（i） …2分。
由已知条件得解得 ……5分。
（ii），由（i）知。
设则。而 ……12分。
16. 已知函数r, ,
（1）时，求函数的定义域、单调区间与极值。
（2）求函数的单调区间；
解： （1）,x变化时，关系如下表
所以的增区间为、，减区间是、
x=时，有极小值，且极小值为，x=时，有极大值，且极大值为。
2) ,函数的定义域为。
① 当， 即时， 得，则。
∴函数在上单调递增。
② 当， 即时， 令得，解得。
ⅰ) 若， 则。 ,函数在上单调递增。
(ⅱ)若，则时， ;时， ,函数在区间上单调递减， 在区间上单调递增。
综上所述， 当时， 函数的单调递增区间为；
当时， 函数的减区间为， 增区间为。
17、已知函数．（ⅰ求函数的单调区间与极值；
ⅱ）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．
解：（ⅰ令，解得．
因为当或时，；当时，所以的单调递增区间是和，单调递减区间是．
又，所以当时，函数有极大值；
当时，函数有极小值6分。
由已知对于任意恒成立，所以对恒成立，（根据隐藏x范围先化简是解题关键）
即对于任意恒成立。
因为，所以（当且仅当时取“=”号）．
所以的最小值为2 ，得，所以恒成立时，实数的取值范围是．……14分。
18. 已知函数。
1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；
2）当时，求在上的最大值和最小值；
3）当时，求证：当时都有 .
3）当时，，，故在上为增函数。
当时，令，则，故11分。
，即 ……12分。
14分。
19. 已知为常数，函数，
1）讨论是否存在极值点，若存在则求之；
(2)* 证明不存在小于0的极值。（3）（附加题）判断有几个零点。
解：的定义域为。
g(x)图象可确定与x的关系表。
所以此时的极大值点为，极小值点。
综上所述，当且仅当时有极值，且的极大值点为，极小值点。
2) 由（1）当且仅当时才存在有极值。而且此时。
且极值点是＝0的解，的极大值点为，极小值点。
下面证明的极值都为正。
令则。在（0，1）上递增，在上递减，则在处有极大值，也是最大值，所以，下面利用常见结论进行缩放）
另法：有。提取可避免讨论)
同理》0, 因此有极值时极值都为正，即不存在小于0的极值。
3) 法一 (分离变量法是常法，关键是分离后得到两边都是较简单的函数)
i)当时没有零点。
ii)当时的零点即方程的解。
因此g(x)的值域为r且是单调增函数必与有且只有一个交点，即有且只有一个零点。
法二：（i）当时没有零点。
（ii）因为 (i)时。
ii)时。由（1） 当时，由（1）可知是单调函数（至多有1个零点），所以此时有且只有一个零点。
由（2）当时才存在有极值，且极极值都为正，可知的图象大致如右， 所以只有1个零点。
综合所述：当时没有零点；当时有且只有一个零点。
20附加题： 设函数f(x) =x2 + bln(x+1),1）若对定义域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求实数b的值；
2）若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；
3）若b = 1,，证明对任意的正整数n，不等式都成立。
解：（1）由x + 1＞0得x＞ –1∴f(x)的定义域为( -1，+ 对x∈( 1，+ 都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/ (1) =0,解得b= -4.
又函数f(x)在定义域上是单调函数，∴f/ (x) ≥0或f/(x)≤0在( -1，+ 上恒成立。
若f/ (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x2 +2x+b≥0在( -1，+ 上恒成立，即b≥-2x2 -2x = 恒成立，由此得b≥;
若f/ (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x2 +2x+b≤0,即b≤-(2x2+2x)恒成立，因-(2x2+2x) 在( -1，+ 上没有最小值，不存在实数b使f(x) ≤0恒成立。
综上所述，实数b的取值范围是。
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