假期作业（一）
1. 已知集合a＝，b＝，若a∩b≠，则实数b的取值范围是。
2. 设m＝和n＝都是元素为向量的集合，则m∩n
3. 设集合a＝(x，y)≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈r，b＝，若a∩b≠，则实数m的取值范围为___
4. 给出下列命题：
p：函数f(x)＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
q：x∈r，使得log2(x＋1)<0；
r：已知向量a＝(λ1)，b＝(－1，λ2)，c＝(－1,1)，则(a＋b)∥c的充要条件是λ＝－1.
其中所有的真命题是___
5. 使得关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件的a的取值范围是___
6.若命题“x∈r，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是___
7. 设f(2x－1)＝2x－1，则f(x)的定义域是___
8. 设f(x)＝则f等于___
9. 设函数f(x)＝，集合a＝，b＝，则a∩b
10．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2＋1，值域为的“孪生函数”共有___个．
11. f(x)的定义域为r，f(－1)＝2，对任意x∈r，f′ (x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为___
12. 已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x)在(－1,1)上是减函数，则不等式f(1－x)＋f(1－x2)＜0的解集为___
13. 设f(x)是定义在r上的增函数，且对于任意的x都有f(1－x)＋f(1
x)＝0恒成立．如果实数m、n满足不等式组那么m2＋n2的取值范围是___
14. ．已知定义在r上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)的图象关于点对称；③函数f(x)为r上的偶函数；④函数f(x)为r上的单调函数．其中真命题的序号为___写出所有真命题的序号)．
15. (1)已知f(x)是r上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式；
2)设a>0，f(x)＝＋是r上的偶函数，求实数a的值；
3)已知奇函数f(x)的定义域为，且在区间内递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
16. 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在区间上的最大值、最小值分别是m，m，集合a＝．
1)若a＝，且f(0)＝2，求m和m的值；
2)若a＝，且a≥1，记g(a)＝m＋m，求g(a)的最小值．
17. 设函数f(x)＝kax－a－x(a＞0且a≠1)是奇函数．
1)求k的值；
2)若f(1)＞0，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)＞0；
3)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在。
18. 已知函数f(x)＝|x－a|－ln x，a∈r.
1)求函数f(x)的单调区间；
2)若函数f(x)有两个零点x1，x2(x119. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用c(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：
cm)满足关系：c(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
1)求k的值及f(x)的表达式；
2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
20. 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据**，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.
8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
作业一答案。
1.(－1，＋∞2. 3. 4. p、q 5. (1]
6. －4≤m≤0 7. (1，＋∞89. 10. 9
15. 解 (1)∵f(x)是定义在r上的奇函数，f(0)＝0，当x<0时，－x>0，由已知f(－x)＝(x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)．
f(x)＝－x2－x＋1.
f(x)＝2)∵f(x)是r上的偶函数，f(－x)＝f(x)在r上恒成立．
即＋＝＋a2－1)(e2x－1)＝0，对任意的x恒成立，解得a＝1.
3)∵f(x)的定义域为，有解得－1≤m≤.①
又f(x)为奇函数，且在上递减，在上递减，f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)1－m>m2－1，即－2综合①②，可知－1≤m<1.
16. 解 (1)由f(0)＝2可知c＝2.又a＝，故1,2是方程ax2＋(b－1)x＋2＝0的两实根．
所以解得a＝1，b＝－2.
所以f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1) 2＋1，x∈．
当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝1，即m＝1.
当x＝－2时，f(x)max＝f(－2)＝10，即m＝10.
2)由题意知，方程ax2＋(b－1)x＋c＝0有两相等实根x＝1.
所以即。所以f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a，x∈，其对称轴方程为x＝＝1－.又a≥1，故1－∈.
所以m＝f(－2)＝9a－
g(a)＝m＋m＝9a－－1.又g(a)在区间。
2)因为f(1)＞0，所以a－＞0，∴a＞1，∴f(x)＝ax－a－x是r上的单调增函数．
于是由f(x2＋2x)＞－f(x－4)＝f(4－x)，得x2＋2x＞4－x，即x2＋3x－4＞0，解得x＜－4或x＞1.
3)因为f(1)＝，所以a－＝，解得a＝2(a＞0)，所以g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.设t＝f(x)＝2x－2－x，则由x≥1，得t≥f(1)＝，g(x)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2.
若m≥，则当t＝m时，ymin＝2－m2＝－2，解得m＝2.
若m＜，则当t＝时，ymin＝－3m＝－2，解得m＝(舍去)．综上得m＝2.
18. (1)解由题意，函数的定义域为(0，＋∞当a≤0时，f(x)＝|x－a|－ln x＝x－a－ln x，f′(x)＝1－>0，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞
当a>0时，f(x)＝|x－a|－ln x＝
若x≥a，f′(x)＝1－＝>0，此时函数f(x)单调递增，若0综上，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞
当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，a)；单调递增区间为(a，＋∞
2)证明由(1)知，当a≤0时，函数f(x)单调递增，至多只有一个零点，不合题意；
则必有a>0，此时函数f(x)的单调递减区间为(0，a)；单调递增区间为(a，＋∞由题意，必须f(a)＝－ln a<0，解得a>1.
由f(1)＝a－1－ln 1＝a－1>0，f(a)<0，得x1∈(1，a)．
而f(a2)＝a2－a－aln a＝a(a－1－ln a)，下面证明：a>1时，a－1－ln a>0.
设g(x)＝x－1－ln x，x>1，则g′(x)＝1－＝>0，g(x)在x>1时递增，则g(x)>g(1)＝0，f(a2)＝a2－a－aln a＝a(a－1－ln a)>0，又f(a)<0，x2∈(a，a2)，综上，119. 解 (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为c(x)＝，再由c(0)＝8，得k＝40，因此c(x)＝.
而建造费用为c1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20c(x)＋c1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
2)f(x)＝2－10≥2×2－10＝70(当且仅当＝3x＋5，即x＝5时，“＝成立)，所以当x＝5时，f(x)min＝f(5)＝70.故隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元。
20. 解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．
将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，这是斜率为－2、随z变化的一组平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点m时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，z也最大．
这里m点是直线x＋y＝10和0.3x＋0. 1y＝1.8的交点．
解方程组。得x＝4，y＝6，此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．
7＞0，∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
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