班级学号姓名。
1. 设a ，b为两个互不相同的集合，命题p：， 命题q：或，则p是q的条件。
2. 函数的最小正周期为。
3. 已知等差数列前15项的和=30，则。
4. 直三棱柱，底面是正三角形，p，e分别为，上的动点（含端点），d为bc边上的中点，且。则直线的夹角为__。
5．等轴双曲线c的中心在原点，焦点在x轴上，c与抛物线y2 = 4x的准线交于a、b两点，ab =，则c的实轴长为 .
6．二维空间中，圆的一维测度（周长）l＝2r，二维测度（面积）s＝r2；三维空间中，球的二维测度（表面积）s＝4r2，三维测度（体积）v＝r3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度v＝8r3，则其四维测度w
7．在平面直角坐标系xoy中，已知圆(x1)2+(y1)2＝4，c为圆心，点p为圆上任意一点，则的最大值为。
8. 在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为。
9．设为实数，则。
10. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有种。（用组合数符号表示）
11.已知椭圆c： (a>b>0)的上顶点为a，左，右焦点分别为f1，f2,且椭圆c过点p(，)以ap为直径的圆恰好过右焦点f2.
1)求椭圆c的方程；
2)若动直线l与椭圆c有且只有一个公共点，试问：在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由。
12.已知数列中，a2＝a(a为非零常数)，其前n项和sn满足：sn＝(nn*).
1)求数列的通项公式；
2)若a＝2，且，求m、n的值；
3)是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列中满足的最大项恰为第3p－2项？若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由．
13.在锐角三角形abc中，，设在其内部同时满足和的点p的全体形成的区域g的面积为三角形abc面积的。证明三角形abc为等边三角形。
练习4参***。
1. 充分非必要 2. 4 3. 6 4. 5. 1
11．解：(1)因为椭圆过点p(，)所以=1,解得a2=2,
又以ap为直径的圆恰好过右焦点f2.所以af2f2p,即=1, b2=c(43c).
而b2=a2c2=2c2,所以c22c+1=0,解得c2=1,故椭圆c的方程是+y2=1
(2)①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得。
(1+2k2)x2+4kpx+2p2－2=0.
因为直线l与椭圆c有只有一个公共点，所以。
=16k2p2－4(1+2k2)(2p2－2)=8(1+2k2―p2)=0，即 1+2k2=p2
设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则。
==1,即(st+1)k+p(s+t)=0(*)或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (*
由(*)恒成立，得解得，或。
而(**不恒成立。
当直线l斜率不存在时，直线方程为x=时，定点(－1，0)、f2(1，0)到直线l的距离之积d1 d2=(－1)( 1)=1.
综上，存在两个定点(1,0),(1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1.
12． (1)证明：由已知，得a1=s1==0，sn=，
则有sn+1=，2(sn+1－sn)=(n+1)an+1－nan，即(n－1)an+1=nan nn*，nan+2=(n+1)an+1，两式相减得，2an+1=an+2+an nn*，
即an+1－an+1=an+1－an nn*，故数列是等差数列。
又a1=0，a2=a，an=(n－1)a.
2)若a=2，则an=2(n－1)，sn=n(n1).
由，得n2n+11=(m1)2，即4(m1)2－(2n1)2=43，2m+2n3)(2m－2n1)=43.
43是质数， 2m+2n3>2m－2n1， 2m+2n3>0，解得m=12，n=11.
iii)由an+bp，得a(n－1)+bp.
若a<0，则n+1，不合题意，舍去；
若a>0，则n+1.
不等式an+bp成立的最大正整数解为3p－2，3p－2+1<3p－1
即2a－b<(3a－1)p3a－b，对任意正整数p都成立。
3a－1=0，解得a
此时，－b<01－b，解得故存在实数a、b满足条件， a与b的取值范围是a=， 13.做的外接圆o，做则g为四边形aeof。又。
所以。等号成立当且仅当a、o、m共线，即为等边三角形。
高二数学竞赛综合练习
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