高二数学（理）综合练习（二）
一、 选择题。
设且不全为零，若，则（ ）
答案：ｃ设函数在区间上是连续函数，则（ ）
答案：ｃ把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…循环，分别为则第104个括号内各数之和为（ ）
答案：ｄ设在上连续，则在上的平均值是（ ）
答案：ｄ下面几种推理是合情推理的是（ ）
由圆的性质类比得出球的有关性质；
由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180°，归纳出所有三角形内角和都是；
四边形内角和是，五边形内角和是，由此得出凸多边形内角和是．
答案：ｄ曲线在点处的切线方程为（ ）
答案：ａ定义运算，则符合条件的复数为（ ）
答案：ａ在复数集内分解因式，则分解为（ ）
答案：ｂ观察按下列顺序排列的等式：，，猜想第个等式应为（ ）
答案：ｂ2023年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
a. 36种 b. 12种 c. 18种 d. 48种答案：a
从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机各台，则不同的取法共有（ ）
a．种 b．种 c．种 d．种答案：c
已知在10件产品中有2件次品，现从中任意抽取2件产品，则至少抽出1件次品的概率为。
a． b． c． d． 答案：c
二、填空题，计算得，，，由此推测，当时，有答案：
已知，其中，为虚数单位．复数的虚部减去它的实部所得的差为，则答案：
已知（为常数），在上有最小值，那么在上的最大值是答案：
设随机变量ξ的概率分布列为，，则答案：
三、解答题。
袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球。设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分。
求：（1）得分ξ的概率分布
2）得分ξ的数学期望。和方差。
设试求．解：
如图，抛物线上有一点，，过点引抛物线的切线分别交轴与直线于两点，直线交轴于点．
1）求切线的方程；
2）求图中阴影部分的面积，并求为何值时，有最小值？
解：（1），，切线的方程是，即；
令，，．当时，；当时，．
时，有最小值．
已知数列的前项和．
1）计算，，，
2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
解：（1）依题设可得，，，
2）猜想：．
证明：①当时，猜想显然成立．
假设时，猜想成立，即．那么，当时，即．又，所以，从而．
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解：设长方体的宽为x（cm），则长为2x(cm)，则高为。
故长方体的体积为。
从而。令v′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，v′（x）＞0；当1＜x＜时，v′（x）＜0，故在x=1处v（x）取得极大值，并且这个极大值就是v（x）的最大值。
此时长方体的长为2 cm，高为1.5 cm.
答：当长方体的长为2 cm时，宽为1 cm，高为1.5 cm时，体积最大，最大体积为3 cm3。
已知函数。（1）求的单调递减区间；
（2）若在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。
解：（1）令。
所以函数的单调递减区间为（－，1）和（3，+）
2）因为。所以。
因为在（－1，3）上》0，所以在[－1，2]上单调递增，又由于在[－2，－1]上单调递减，因此f（2）和f（－1）分别是在区间[－2，2]上的最大值和最小值。
于是有22+a=20，解得a=－2。
故。因此f（－1）=1+3－9－2=－7，即函数在区间[－2，2]上的最小值为－7。
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