高二数学竞赛综合练习

发布 2022-07-04 03:27:28 阅读 7906

班级学号姓名。

1. 已知,则可化简为。

2.如果复数的模为4,则实数a的值为。

3. 过椭圆的右焦点作倾斜角为弦ab,则为

4. 向量,,,则的取值范围为。

5. 已知函数在上有两个零点,则m的取值范围为

6. 已知,则的解为。

7.已知函数f(x)=则使f[f(x)]=2成立的实数x的集合为。

8.点a,b分别在x轴与y轴的正半轴上移动,且ab=2,若点a从(,0)移动到(,0),则ab中点d经过的路程为 .

9.关于x的不等式x2ax+2a<0的解集为a,若集合a中恰有两个整数,则实数a的取值范围是。

10. 设为整数,且,则。

11. 设,求在上的最大值和最小值。

12. 给定两个数列,满足,,。证明对于任意的自然数n,都存在自然数,使得

13.已知函数,其中r.

1)求函数y=f(x)的单调区间;

2)若对任意的x1,x2[1,1],都有,求实数的取值范围;

3)求函数的零点个数.

14.设,且。求证。

并指明等号成立的条件。

练习3参***。

1. 2. 3. 4.[1,3] 5. 6.或

7. 8. 9. 10. 3或57

11.当当。

由此可知。当;当;

当。12.为等比数列,首项为2,公比为2,

所以。又由已知,

由。所以取即可。

13.解:(1) f (x)=x2-2mx-1,由f (x)0,得xm-,或x m+;

故函数的单调增区间为(-∞m-),m+,+减区间(m-, m

2) “对任意的x1,x2[1,1],都有|f(x1)f(x2)|4”等价于“函数y=f (x),x[1,1]的最大值与最小值的差小于等于4”.

对于f (x)=x2-2mx-1,对称轴x=m.

当m<1时, f (x)的最大值为f (1),最小值为f (1),由 f (1)f (1)4,即4m4,解得m1,舍去。

当1m1时, f (x)的最大值为f (1)或f (1),最小值为f (m),由,即,解得1m1

当m>1时, f (x)的最大值为f (1),最小值为f (1),由 f (1)f (1)4,即4m4,解得m1,舍去;

综上,实数m的取值范围是[1,1

(3)由f (x)=0,得x2-2mx-1=0,因为△=4m2+4>0,所以y=f(x)既有极大值也有极小值。

设f (x0)=0,即x02-2mx0-1=0,则f (x0)= x03-mx02-x0+m=-mx02-x0+m=-x0(m2+1)

所以极大值f(m-)=m-)(m2+1)>0,极小值f(m+)=m+)(m2+1)<0,故函数f(x)有三个零点。

14证明:由柯西不等式得到。

1)式右边的分子=

等号成立条件是。结论成立。

高二数学竞赛综合练习题(4)

班级学号姓名。

1. 设a ,b为两个互不相同的集合,命题p:, 命题q:或,则p是q的条件。

2. 函数的最小正周期为。

3. 已知等差数列前15项的和=30,则。

4. 直三棱柱,底面是正三角形,p,e分别为,上的动点(含端点),d为bc边上的中点,且。则直线的夹角为__。

5.等轴双曲线c的中心在原点,焦点在x轴上,c与抛物线y2 = 4x的准线交于a、b两点,ab =,则c的实轴长为 .

6.二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2r,二维测度(面积)s=r2;三维空间中,球的二维测度(表面积)s=4r2,三维测度(体积)v=r3.应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度v=8r3,则其四维测度w

7.在平面直角坐标系xoy中,已知圆(x1)2+(y1)2=4,c为圆心,点p为圆上任意一点,则的最大值为。

8. 在平面区域上恒有,则动点所形成平面区域的面积为。

9.设为实数,则。

10. 马路上有编号为1,2,3,…,2011的2011只路灯,为节约用电要求关闭其中的300只灯,但不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有种。(用组合数符号表示)

11.已知椭圆c: (a>b>0)的上顶点为a,左,右焦点分别为f1,f2,且椭圆c过点p(,)以ap为直径的圆恰好过右焦点f2.

1)求椭圆c的方程;

2)若动直线l与椭圆c有且只有一个公共点,试问:在轴上是否存在两定点,使其到直线l的距离之积为1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由。

12.已知数列中,a2=a(a为非零常数),其前n项和sn满足:sn=(nn*).

1)求数列的通项公式;

2)若a=2,且,求m、n的值;

3)是否存在实数a、b,使得对任意正整数p,数列中满足的最大项恰为第3p-2项?若存在,分别求出a与b的取值范围;若不存在,请说明理由.

13.在锐角三角形abc中,,设在其内部同时满足和的点p的全体形成的区域g的面积为三角形abc面积的。证明三角形abc为等边三角形。

练习4参***。

1. 充分非必要 2. 4 3. 6 4. 5. 1

11.解:(1)因为椭圆过点p(,)所以=1,解得a2=2,

又以ap为直径的圆恰好过右焦点f2.所以af2f2p,即=1, b2=c(43c).

而b2=a2c2=2c2,所以c22c+1=0,解得c2=1,故椭圆c的方程是+y2=1

(2)①当直线l斜率存在时,设直线l方程为y=kx+p,代入椭圆方程得。

(1+2k2)x2+4kpx+2p2-2=0.

因为直线l与椭圆c有只有一个公共点,所以。

=16k2p2-4(1+2k2)(2p2-2)=8(1+2k2―p2)=0,即 1+2k2=p2

设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则。

==1,即(st+1)k+p(s+t)=0(*)或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (*

由(*)恒成立,得解得,或。

而(**不恒成立。

当直线l斜率不存在时,直线方程为x=时,定点(-1,0)、f2(1,0)到直线l的距离之积d1 d2=(-1)( 1)=1.

综上,存在两个定点(1,0),(1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1.

12. (1)证明:由已知,得a1=s1==0,sn=,

则有sn+1=,2(sn+1-sn)=(n+1)an+1-nan,即(n-1)an+1=nan nn*,nan+2=(n+1)an+1,两式相减得,2an+1=an+2+an nn*,

即an+1-an+1=an+1-an nn*,故数列是等差数列。

又a1=0,a2=a,an=(n-1)a.

2)若a=2,则an=2(n-1),sn=n(n1).

由,得n2n+11=(m1)2,即4(m1)2-(2n1)2=43,2m+2n3)(2m-2n1)=43.

43是质数, 2m+2n3>2m-2n1, 2m+2n3>0,解得m=12,n=11.

iii)由an+bp,得a(n-1)+bp.

若a<0,则n+1,不合题意,舍去;

若a>0,则n+1.

不等式an+bp成立的最大正整数解为3p-2,3p-2+1<3p-1

即2a-b<(3a-1)p3a-b,对任意正整数p都成立。

3a-1=0,解得a

此时,-b<01-b,解得故存在实数a、b满足条件, a与b的取值范围是a=, 13.做的外接圆o,做则g为四边形aeof。又。

所以。等号成立当且仅当a、o、m共线,即为等边三角形。

高二数学竞赛综合练习 10

班级学号姓名。一 填空题。1 在数列中,且,则。2 设a,b,c是正整数,且成等比数列,是一个完全平方数,则 3 一列数满足对于任意正整数n,都有,则。4 设,变量满足,且的最小值为,则 5 正整数,具有如下性质 从集合中任取一个元素m,则m整除n的概率是,则n的最大值是。6 集合的元素和为奇数的非...

高二数学竞赛综合练习 4

班级学号姓名。1.设a b为两个互不相同的集合,命题p 命题q 或,则p是q的条件。2.函数的最小正周期为。3.已知等差数列前15项的和 30,则。4.直三棱柱,底面是正三角形,p,e分别为,上的动点 含端点 d为bc边上的中点,且。则直线的夹角为 5 等轴双曲线c的中心在原点,焦点在x轴上,c与抛...

高二数学竞赛综合练习 7

班级学号姓名。1 以表示集合的元素个数。若有限集合满足,则的最大可能值为 2 设是正实数。若的最小值为10,则 3 已知实系数多项式满足,则的所有可能值集合为 4 设展开式。若,则 第5题。第6题。5 在如图所示的长方体中,设是矩形的中心,线段交平面于点。若,则 6 平面上一个半径的动圆沿边长的正三...