班级学号姓名。
一、填空题。
1．在数列中，，，且，．则。
2．设a，b，c是正整数，且成等比数列，是一个完全平方数，，则 ．
3．一列数满足对于任意正整数n，都有，则。
4．设，变量满足，且的最小值为，则___
5．正整数，具有如下性质：从集合中任取一个元素m，则m整除n的概率是，则n的最大值是。
6．集合的元素和为奇数的非空子集的个数为。
7．一个直径的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点，使，为半圆上一个动点，分别为在上的射影．当三棱锥的体积最大时。
8．直线交抛物线于两点，若中点的横坐标为，则。
9.已知函数，当时，，则实数的取值范围是 .
10.如图，在等腰三角形中，已知分别是边上的点，且其中若的中点分别为且则的最小值是 .
二、解答题。
11．正实数满足，求证：
12.证明：对任给的奇素数p,总存在无穷多个正整数n使得p|(n2n-1).
13.已知函数且x≠1)．
1）若函数在上为减函数，求实数a的最小值；
2）若，使f(x1)≤成立，求实数a的取值范围．
14．给定整数，记为集合的满足如下两个条件的子集a的元素个数的最小值：
a）；b） a中的元素（除1外）均为a中的另两个（可以相同）元素的和．
1）求的值；
2）求证：．
参***10
1.因为所以，自第8项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故=0．
2．由题意，，，所以，，故，．
于是，36－a是平方数，所以，a只可能为11，20，27，32，35，而a是的约数，故．进而，．所以，．
3．当时，有。
两式相减，得。所以。故。
4．由及得：，设．
若，即，则在处取最小值，因此，．
若，即，则在处取最小值，因此，（舍去）．
5．由题设知，n恰有5个约数。设n的质因数分解是，则n的约数个数为，所以＝5，故n具有的形式，而，故n的最大值为81.
6．令f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x2011),问题中要求的答案为f(x)的展开式中，x的奇次项的系数和．故所求的答案为(f(1)－f(－1))=22010.
7．易知，所以，从而，所以，因此．，由得：，而，为斜边长为的直角三角形，面积最大在时取到，此时，．
8．设，由，即，所以，，因此，即，因直线过和，则，于是，再由，，解得，所以．
11．证 （1）记，由平均不等式。
于是， 所以，而，所以，即，从而．
（2）又因为，所以 ， 故 ．
12证明：取n=(p-1)k,则由费尔马小定理知，所以， p|(n2n-1)
取k=pr-1(r∈n*),即n=(p-1)(pr-1),就有。
即p|(n2n-1).
13解：（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．
所以当时，．
又，故当，即时，．
所以于是，故a的最小值为．
2）命题“若使成立”等价于。
当时，有”．
由（1），当时，，
问题等价于：“当时，有”．
当时，由（1），在上为减函数，则=，故．
当时，由于在上为增函数，故的值域为，即．
i)若，即，在恒成立，故在上为增函数，于是， =不合．
ii)若，即，由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以， =所以，，与矛盾，不合．
综上，得．
14．解 （1）设集合，且a满足（a），（b）．则．由于不满足（b），故．
又。都不满足 （b），故．
而集合满足（a），（b），所以．
（2）首先证明。
事实上，若，满足（a），（b），且a的元素个数为．
令，由于，故．
又，所以，集合，且b
满足（a），（b）．从而．
其次证明。事实上，设满足（a），（b），且a的元素个数为．
令，由于，所以，且．而。
从而b满足（a），（b），于是．
由①，②得。
反复利用②，③可得。
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