一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)
1．模型。模型指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而构造成的原型替代物。如地图、苯分子图。
2．数学模型。
由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型。
如概率的功利化定义。
3．抽象模型。
抽象模型是为了便于研究而建立的一种高度抽象的理想客体．实际的物体都是具有多种属性的，例如固体具有一定的形状、体积和内部结构，具有一定的质量等．但是，当我们针对某种目的，从某种角度对某一物体进行研究时，有许多对研究问题没有直接关系的属性和作用却可以忽略。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）
1．模型的分类。
按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类。形象模型：直观模型，物理模型，分子结构模型等；抽象模型：思维模型，符号模型，数学模型等。
2．数学建模的基本步骤。
1.建模准备：确立建模课题的过程．
．建模假设： 根据建模的目的对原型进行抽象、简化．有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则．
．构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择适当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻化实际问题的数学模型．
．模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解．
．模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等．
．模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际．
．模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用．
3．数学模型的作用。
数学模型的根本作用在于他将客观原型化繁为简、化难。
为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学。
模型在科学发展、科学预见、科学**、科学管理、科学决策、驾控市场经。
济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用，数学不仅是。
人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还。
是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。特别是，当代计算机科学。
的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科。
的渗透，产生了众多的边缘学科。数学建模还物化于各中高新科技之中，从。
家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生。
物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点无一不。
是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算控制来实现的。
3、解答题（满分20分）
i 杂交育种的稳定性(9n+8, 9n+7)
假设某一农业研究所植物园中某植物的基因型为aa、aa 和aa ，三种基因型各占1/3. 已知aa型基因属于优良品种，试分析下列三种方案中哪一个方案有利于培养出优良品种？
方案1：采用aa型的植物与每种基因型相结合的方法培育植物后代；
方案2：采用aa型的植物与每种基因型相结合的方法培育植物后代；
方案3：将具有相同基因型植物相。
设第n代植物的基因aa 型、
aa型和aa型所占的比例，n =1,2, …
1) 对于aa型基因授粉情况，第n代的基因型分布可由第n-1代的基因型分。
布来确定，即。
如果一直使用方案1,培育出植物aa型基因所占比例在不断增加，在极限状态下所有植物的基因都会是aa型。
对于方案2与方案3可做类似讨论
记与m1对应于方案2和方案3的矩阵分别为m2与m3,则。
对应于方案2,
所以不可能得到纯种的aa型植物。
对应于方案3, 则。
所以同理不可能得到纯种的aa型植物。
四、综合题（21分）
k. 养鱼问题(7n+1, 7n, 7n+2)
我国为支持农村经济发展， 免费提某种鱼苗用以支持某地区养殖业的发展。设某地区有一池塘，其水面面积100100平方米，根据当地环境测出每平方米养鱼不超过1公斤，每公斤鱼苗大约有500条，鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼自重成正比，360天可长成成鱼，其重量为2公斤，每公斤鱼每天需要饲料0.005公斤，给鱼池内只投放鱼苗，池内鱼的繁殖与死亡均可忽略不计，市场上鱼饲料**0.
2元/公斤，此种鱼的销售**为：
请你为一承包户设计一下最优方案。 1. 此承包护承包期为一年；2.此承包护承包期为三年；此承包护承包期为三十年。
假设：研究获得三年养鱼利润最优模型。
摘要。在我们日常生活中，都有这么些相关的例子。那么这里我们将基于求利润最优化的养鱼规划问题，根据鱼的存活空间有限，以及鱼本身的生长情况，可以假设鱼在长成成鱼后生长非常缓慢，近似为不生长，未成年鱼的生长模型为指数增长模型，得出鱼的增长函数，对于的**进行预知，将利润的最大化问题着手于研究养鱼周期、捕鱼次数及每次捕鱼的重量，结合鱼的生长模型充分利用池塘空间，在合理假设条件下建立数学模型，并借助matlab软件编程计算，通过比较分析各模型的最优解，确定出三年获得较大利润的最优养鱼方案，为养殖户提供有用的参考。
关键字： matlab 指数增长模型养鱼周期捕鱼次数捕鱼重量较大利润。
一问题重述。
设某地有一池塘，其水面面积约为100×100，用来养殖某种鱼类。在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。
1 鱼的存活空间为1kg /；
2 每1kg鱼每天需要的饲料为0.05kg，市场上鱼饲料的**为0.2元/kg；
3 鱼苗的**忽略不计，每1kg鱼苗大约有500条鱼；
5 鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg；
池内鱼的繁殖与死亡均忽略；
若q为鱼重，则此种鱼的售价为：
该池内只能投放鱼苗。
二模型假设。
1）、养鱼者的经营模式为“放鱼苗喂饲料捕捞，销售全部捕捞”周期循环，每个周期只投放一次鱼苗。
2）、在饲养过程中，不考虑意外灾害，如洪灾、旱灾，台风等等。
3）、鱼可以一年四季生长，未成年鱼每天生长的重量与鱼的自重成正比。
4）、鱼的繁殖和死亡均可以忽略。
5）、捕捞鱼时采取承包不放水的方式。
6）、每个周期分n次捕捞销售，每相隔两次捕捞时间间隔相同，n>=2；且在捕捞时，部分鱼对其它鱼的生长不造成影响，捕出的鱼能全部按预定**销售。
三符号及说明。
s：池塘水面面积（平方米）；u：池塘单位面积鱼的最大存活量重（公斤/平方米）；n：
每次放养鱼苗的尾数（万尾）；r:鱼每天生长的重量与鱼自重成正比的比例系数；y：每条鱼的重量（公斤）；t：
鱼的生长天数（天）；p:销售鱼的**（元/公斤）；a：每公斤鱼每天要喂的饲料重量（公斤）；b：
市场上饲料的**（元/公斤）；p0：每次捕捞鱼的费用（元/次）；h0：购买鱼苗时的**（元/万尾）；x0：
每条鱼苗的重量（公斤）；n：每个养鱼周期的捕捞次数（次）；ts：在每个周期的第s次捕捞鱼的时间（天）；：
池塘饱和时鱼的总重量（公斤）；：在每个周期的第s次捕捞鱼的重量（公斤）；y：三年养鱼获得的较大利润（元）。
四、 问题分析。
名词解释。1)、池塘饱和：鱼的生存空间达到最小时。
2）、未成年鱼：体重没达到成鱼重量的鱼。
3）、养鱼周期：每次放养鱼苗后饲养的时间。
问题的数据分析。
在池塘第一次达到饱和时鱼刚好能够上市的前提下，考虑充分利用池塘空间，容易知道每个周期放养鱼苗数为万尾。
由假设3可得鱼的生长函数为：
由条件可求得：
由条件6可得销售鱼时的**函数为：
将其转化为时间的函数：
由销售鱼的**函数可知，每次放养鱼苗后，第一次捕捞的时间是在第240天，为获得较大利润，在三年时间可进行4个周期的循环或3个周期循环。且最后一次捕捞应在第274天和第360天将鱼全部捕捞并销售。
五、 模型建立与求解。
模型1：三年中4次放养鱼苗。
用表示三年中4次放养鱼苗，每个养鱼周期分n次捕捞销售后获得的利润。由前面问题分析可得，4次放养鱼苗获得的较大利润函数为：
约束条件：
模型2：三年中3次放养鱼苗。
用表示三年中3次放养鱼苗，每个养鱼周期分n次捕捞销售后获得的利润。由前面问题分析可得，3次放养鱼苗获得的较大利润函数为：
约束条件：模型求解。
经过调查多家养鱼专业户及网上查询，可获知常见家常鱼的**为10元/万尾。捕鱼采取承包不放水方式，费用一般为每次1200——1500元不等，这里，我们研究的是如何获得较大利润，不妨取元/次。
利用matlab软件编程计算并作图，在同一坐标系中回话出及与n的关系图像，如下图：
模型结论。由图1可获知为获得三年养鱼的较大利润应采用模型2，再由计算结果知，当n=13时，取得最大利润元。当n=13带入方程（6）、（7）可得在轮个养鱼中前12次每次大捞鱼的重量为1745公斤，从第240天开始，每10天打捞一次，最后一次将鱼全部捕捞完。
这即是三年获得较大利润的最优方案。
六、模型评价及改进方向。
优点：1、 通过两种模型的求解、分析、对比获得最优养鱼方案，使最优设计方案的结果更具有实际性、可行性、合理性，在进行设计变量的过程中具体分析关系量，所假设的变量清晰、全面、合理、不混淆，使得建立的模型简单易懂，可行性高。
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