第一章线性差分方程。
这一章我们将要研究线性差分方程解的基本性质及常系数线性差分方程的各种解法．往下我们将看出，要研究线性差分方程解的各种性质，可归结为研究一个序列的性质．为此，我们先简单地介绍实数系列的一些基本性质．在这章中，我们仍用表示所有非整数的集合。
1.1 序列与线性差分方程。
定义1.1 序列称为是有界的，如果可以找到一个正数，使得不等式对所有的成立．否则就称序列是无界的．
定义1.2 一个序列被称为是一个零序列，如果相应于任何无论怎样小的正数，都可找到一个正整数（依赖于），使得对于所有，有．
实际上一个零序列，就是收敛到零的一个序列．
定义1.3 如果是一个给定的序列，且存在一个数，使得序列是一个零序列，则这个给定的序列被称为有极限（或被称为收敛于）．这个序列的元素被称为收敛于极限．一个序列有极限，可以表示为或更简单地表示为：当，．
一个序列，如果它有极限，则称这个序列是收敛的；否则就称此序列是发散的．
定义1.4 序列被称为是单调递增的，如果对于所有的，有；类似地序列被称为是单调递减的，如果对于所有的，有．
定义1.5 序列被称为是衰减振荡的（围绕值），首先序列收剑于；并且这个序列的每个小于的元素之后，总有大于的元素（不必须是下一个），反之亦然．
定义1.6 序列被称为发散至，如果相应于每个无论怎样大的正数，总可以找到一个正数（依赖于），使得对于所有的，都有．
对于序列发散至的情形也有类似的定义：即对于每个绝对值无论怎样大的负数，总可以找到一个正整数，使得对于所有的，有。
则称序列发散于至．
定义1.7 如果序列是发散的，但不发散到，也不发散到：
i) 如果序列有界，则称序列是有限的振荡；
ii) 如果序列是无界的，则称序列是无限地振荡．
总结上面的定义，序列或者是收剑的；或者是发散的．每一种都有四种情形，如表1.1．
表。1现举例如下：：常量序列（极限是2）; 有界且单调递增序列，，即（极限是1）; 有界且单调递减序列即（极限是5）;
：衰减振荡序列与
与 ．：发散至序列与即。
与皆发散至；
2：发散至序列 ，即发散至；
：有限地振荡序列，与 ．
即不收敛，在轴上下振荡；与，此序列在直线上下振荡，振幅不超过1．
在整个这章中，我们讨论的函数都以作为它的定义域．
定义1.8 令表示负整数的集合．考虑其定义域是的所有实值函数的集合，连同通常的函数加法及一个函数与一个实数乘积的定义，组成了一个向量空间，我们用表示．
容易证明是一个实向量空间．实际上是所有实序列的集合（参看§1.2 例2）．
例1 考虑定义在上的函数 ．
显然，的值域元素是可以用，，，等等来表示．或用下列来表示．这个表示式对于指数函数的一些性质，显然是有用的．在这种情况下我们看出，是定义在上的递增函数列，且此序列是无界的．作为一个序列，它是不收敛的，故其极限不存在．
例2 研究定义在上的函数，它的定义如下：
及。在这种情况下 ，，等等，用序列记号我们有在这个序列中，每一个新的项都是其前两项相加而的．的值或数是**分割数．显然，且是一个递增的无界函数．
例3 考虑定义在上的函数。
在这个序列中前几项为
故这个序列既不递增，又不递减，且容易看出 ．
故此序列是衰减振荡的．
如果，则及均为的元．
事实上，容易证明，对于每个正整数，及均为的元．因为及是上的线性算子．我们引进下面的定义。
定义1.9 用定义了一个阶算子这里．且对于每个。
容易证明是上的一个线性算子．
例4 三阶算子当它作用于函数时，有。
我们指出：及都是属于的元．
现在我们借助于线性算子来定义线性差分方程的概念．
定义1.10 令以及均是的元．如果对于所有，，则是一个阶线性差分方程．如果，则这个差分方程被称为是齐次的；否则称它为大量齐次的．
如果 , 则这个差分方程可以更紧凑地写成。
定义1.10规定了阶差分方程的一个标准型．许多差分方程可以用差分方法化到这种标准型．
例5 函数方程。
可以用以下步骤化为标准型；
首先令，，则。
其次再令 ，对．所以有。
或者写成 即1.2）
这就是定义2.3中的标准型．
1.2 存在性与唯一性。
定义1.1 阶线性差分方程初值问题是由一个线性差分方程 （这里是一个阶线性算子）连同个初始条件
这里是实数）的集合所组成．
初值问题的一个解是这样的一个函数，这个函数本身是差分方程的解，且满足初始条件．
因为 ，所以个初值也可以表示为。
定理1.1 一个阶线性差分方程的初值问题有一个唯一的解．
证阶差分方程。
可以改写成下面形式 （2.2）
特别当时，方程（2.2）为
因此由初始值唯一地确定．
一般地，只要知道个数就可唯一地确定．为了证明这一点，在（2.2）中取，有。
即 这就是说是由唯一地确定．用这个方法可以构造出方程（2.1）的满足指定初始条件的解．
下面我们研究刻划性差分方程解的特点和各种方法．作为第一步，我们首先考虑一阶齐次差分方程2.3）
这个方程等价于。
因此有 令2.4）
且规定，则方程（2.3）的解可以表示2.5）
由此可以得出下面定理。
定理2.2 初值问题。
有唯一解其中由（2.4）给出．
例1 考虑于是
因此 即 ．所以表示了这个一阶齐次变系数差分方程的所有解．因为表示初值，亦可以看作任意常数．
例2 考虑初值问题。
解这时，所以
因为，故也可以写成：所以是这个初值问题的解。
在考虑一阶非齐次方程以前， 我们先回忆以下事实，即在定义1.10中，对于所有，我们假定对于（2.3）而言，这个假设为：
对所有充分必要条件是：对所有。此外，如果对某个，有，则有；而且还有，对所有。
这是因为而。
即对所有都成立。
下面考虑一阶非齐次差分方程
定理2.3 单参数函数族。
表示方程（2.6）之所有的解集，这里是任意常量。
证按定义，对所有，，因此对于所有，，故方程（2.6）等价于 (2.7)
注意到故（2.7）为。
此式可改写为 (2.8)
其中是周期函数，因为是定义在上，故（任意常量）。故是(2.8)的解，是任意常数，由初始值确定。
因此最终有。它是方程 （2.6）的单参数解族。
显然方程（2.6）的单数解族也可以表示为，事实上此时任意常数c已包含在中。
例3 考虑一阶非齐次差分方程2.9）
此时，．首先计算出函数，根据公式知 i故得。
由定理2.3知方程2.9的解为
因， c是任意常数，因此方程（2.9）的单参数解族为2.10）
下面我们解初值问题2.11）
由（2.10）知 ．故知此初值问题的解为．定理2.1指出，一个线性差分方程初值问题的解，总是可一步一步地算出．下面举例说明．
例4 考虑初值问题 （2.122.13)
方程（2.12）可以改写成 （2.14）
在（2.14）中令，利用初值条件（2.13），我们得
对于，我们有
这个方法可以继续进行到算出所求的解值．
1.3 一般理论。
本章§1.1中已指出，n阶算子3.1）
是一线性算子．令h表示齐次方程3.2）
的所有解集合．这就是的充分必要条件是 ．
因为，如果对于某个整数j，有即齐次方程（3.2）有j解，则可推出的所有线性组合，都是方程（3.2）的解．
这是因为用线性代数的语言来说，这个结论可以陈述如下：
定理3.1 齐次方程（3.2）的所有解的集合h是向量空间的的一个子空间．
定理3.2 令是的元．如果这些函数的线性组合等于函数的，只是平凡的线性组合，也就是，如果蕴含。
则这个函数集合是线性无关的．如果这些函数的某个非平凡线性组合等于零函数，则这个函数集合是线性相关的．
例1 如果，，及．此时考虑
即 （3.3）
则由。即 （3.4）
再由，故得；由（3.4）知；再由知（3.3）因此这三个函数在上是线性无关的．
例2 如果 ，，及，则因，所以这个函数集是线性相关的；如果仅考虑前三个函数，，，它们就是线性无关．
定义3.2 令是的元，则阶矩阵。
被称为函数的casorati矩阵．
对于给定的函数集是一个整数变量的矩阵函数，而则是整数变量的一个实值函数．我们有以下结论．
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