内容：2023年研究生数学建模竞赛d题。
题目特殊工件磨削加工的数学建模。
某科研单位和工厂研制了一种大型精密内外圆曲线磨床，用来加工具有复杂母线旋转体的特殊工件，如导弹天线罩等，这些工件具有硬度高、尺度大、加工精度高和母线为连续光滑曲线等特点。图1是几类加工工件示例，工件1的内外母线均为凸的，工件2的内母线是非单调凸的。这些工件的最后精密成形工艺采用磨削加工。
图1 几类特殊加工工件示例。
该磨床主要由机床底座，下工作台，中工作台，上工作台（简称**、中台和上台），工件工作箱和砂轮机箱等组成（见图2，其中仅画出砂轮而未显示砂轮机箱）。**、中台可分别沿着设在底座和**上的直导轨作直线运动，这两组导轨相互垂直；上台能沿中台上的圆导轨作转动。驱动砂轮高速旋转的砂轮机箱安装在机床底座上，砂轮的旋转轴线与底座导轨方向保持平行，且与工件工作箱的旋转主轴等高（即两旋转轴线位于同一水平面）。
各工作台的移动量均可在机床控制面板上自动显示。图2所示为磨削工件外表面时的情况，更换砂轮后可加工内表面。
图2 大型数控精密内外圆磨床的结构示意图。
工件工作箱固装在上台上，它通过专用夹具装夹工件，使工件绕工件工作箱主轴以较慢的转速旋转，同时随三个工作台的复合运动改变待加工工件与砂轮的相对位置。三个台的运动必须相互配合，使工件与砂轮相切磨削，加工出满足要求的旋转体。
三个工作台的运动分别由三组步进电机控制。步进电机是一种精密数控电动机，每输入一个控制脉冲，电机主轴转动一个精确的步进角度（正向或反向），它的大小与方向由电机结构和控制电路确定（改变电机诸绕组的通电顺序就可改变其旋转方向）；既可输入适当个数的脉冲控制电机主轴的角位移量；也可通过控制某时段中的脉冲频率或脉冲的分布使电机主轴转动速度达到某种要求：若某时段中的脉冲频率为常数（即脉冲为均匀分布），则电机主轴的转动可视为匀速，否则为变速，从而实现调速。
电机主轴的转动通过变速器并由精密丝杠--螺母副的转换，变为螺母的平动，从而带动负载运动（即下，中台的直线运动和上台的转动）。由于步进电机的输出功率较小，在传动链路中需要专用电-液功率放大伺服机构将步进电机的转动功率放大。（图2中没有画出各组精密丝杠--螺母副和相应的功放伺服机构）
步进电机的输入脉冲则根据本题所研究的加工方案由机床主计算机控制分配。
图3 电机--伺服机构--丝杠--螺母副--负载之间传动链路。
控制**、中台运动的步进电机和相应的传动系统分别安装在机床底座、**上，其传动链路如图3所示。控制上台的步进电机和相应的传动系统安装在中台上（见图4所示），因为上台作旋转，其传动链路需增加环节。中台的几何中心有一个垂直转轴，上台能绕以该转轴中心为圆心、固定在中台上的圆导轨转动；螺母通过上台的精密滑槽（虚线所示）带动上台转动。
图4为上台、中台某时刻的状态，为工件工作箱的夹具基准面到中台转轴的距离，该基准实际上是工件母线的起点；为中台转轴到控制丝杠—螺母副中心线的距离。
图4 上台相对中台的转动示意关系。
磨床的磨削工具是能磨削高硬度材质的金刚砂轮（指磨削表面含有超高硬度的金刚砂粒），磨外圆时根据工件母线的形状，砂轮可采用圆柱体式或轮式，作内圆磨削的砂轮为轮式。圆柱型砂轮的主要几何参数是砂轮直径和砂轮厚度。轮式砂轮的主要几何参数有砂轮最大纵截面（垂直于砂轮转轴的最大截面）的直径和砂轮厚度，以及其横截面（通过砂轮转轴的截面）的外端轮廓线参数（理论上它可以是任一凸光滑曲线，但工程上常选用半径为、张角不大于180的圆弧），合理的砂轮几何参数是加工能否实现的关键因素之一（见图5）。
在整个加工过程中工件与砂轮不应脱离接触。
图5 轮式砂轮加工具有凸凹母线的工件时的示意图。
为使研究生集中精力解决主要的几个问题，（在解决复杂工程问题的初始阶段也应该如此）
不考虑各组步进电机、变速器，功放伺服机构和精密丝杠--螺母副的各种误差；
认为控制脉冲宽度的时间尺度不大于ms级(秒）；
三工作台的可移动范围足够大，能保证被加工工件的加工；
工件在预加工后留给磨削的加工余量可确保一次磨削成形，砂轮尺寸可任意选择；
砂轮与工件开始接触磨削前，工作台应有一小段预运动，以便与后续的磨加工运动平稳衔接，称这一小段运动为预动。题目要求的加工方案从预动后开始；
本题的研究内容是：运用数学建模的方法，根据旋转体工件的光滑母线方程，给出一个合理的加工方案，在尽可能短的时间内完成磨削，并作加工误差分析。
加工方案指为了完成加工任务的各个步骤（含具体内容）以及相应的数据，包括如何确定加工基准，如何选择加工次序，如何选择砂轮几何尺寸，如何确定三组控制步进电机在各时间段（自主进行时间分段）中各自应发的脉冲数和这些脉冲在该时段的分布等，以及你们认为应给出的其他内容。
误差方析主要包括实际加工曲线与理论曲线在整体与局部的误差，误差的**分析，你们采用什么数学量来表示上述误差，你们采取的措施在减少加工误差方面的实际效果等，以及你们认为应给出的其他内容。
加工方案的合理性主要指加工几何误差和加工表面光滑性要求。实践表明相邻两时间段的脉冲频率和(,分别指前后时段中的脉冲频率)相差大，是造成工作台运动的不平稳，加工表面的质量下降的重要原因。可以采取措施，要求（一般取），你们也可以进行机理分析提出其他言之成理的方法。
本题的具体数据如下：
各组步进电机的步进角度（每输入一个控制脉冲的主轴转动角）均为1；
对步进电机的控制脉冲的最高工作频率不大于每秒100脉冲；
各组变速器的传动比为10：1（即步进电机转1，则变速器输出0.1）；丝杆的螺距为12mm；
中台转轴到上工作台的控制丝杠—螺母副中心线的距离 mm，工件工作箱的夹具基准面到中台转轴的距离 mm；
为保证表面的加工质量，要求工件每转动100转，工件与砂轮的切点在工件工作箱的旋转轴方向上的移动量不超过4 mm；
工件工作箱主轴转动速度设定为每分钟250--300转。
请依次研究下列4个问题（单位：mm）：
问题1：加工外表面母线为。
的某旋转体工件，采用圆柱型砂轮加工，给出一个加工方案；对你的方案作误差分析。
问题2：加工外表面母线为。
的某旋转体工件，采用轮式砂轮加工，给出一个加工方案；对你的方案作误差分析；
问题3：在整个加工过程中，若各个瞬时砂轮与加工工件的相切点是固定在底座和砂轮旋转轴的坐标系中同一个点（实际是点的一个邻域），随砂轮旋转形成一个圆周，那么砂轮在该圆周上的磨损会加大，从而影响加工质量。为此，希望在加工过程中使砂轮表面的磨损尽量均匀，请结合上述第1问题，提出一个修整策略，给出一个合理的加工方案，作相应的误差分析。
问题4：请结合上述第2问题，提出一个修整策略，给出一个使轮式砂轮表面的磨损尽量均匀的合理加工方案，作相应的误差分析。
命题作者上海交通大学周国标。
参***。一。本题背景。
本题是从一个科研项目中提炼而成 ,该项目是一个工程项目，为加工我国独立自主研制的新型地空导弹的天线罩，需要研制一台大型精蜜内外圆数控磨床，由某航天科研院与善长于磨床研究生产的上海机床厂合作研制。这个工程包括研制一台能磨削天线罩这样工件的磨床，并调试机床数字控制系统。该工程的研制成功，不仅解决了当时国内加工导弹天线罩这类特殊工件采用靠模式机床无法保证精度的问题，也提供了加工大型旋转体工件的设备(这是该工程的一个副产品),同时为当时国产机床的计算控制积累了经验。
数控机床加工曲线的常规方法是挿补，这对于车床、铣床都是可以实现的，但对磨床来说，由于切削工具是砂轮，直接套用x—y插补技术有不可逾越的障碍，那就是砂轮外形对曲线的“干涉”！所以，曲线磨床无法直接采用x—y插补技术。为此，该机床的总体设置放弃了两个相互垂直的工作台x—y插补实现曲线加工的传统结构方式，有创意地加人第三个工作台，这个工作台就是本题中的上工作台，它在前两个工作台运动的基础上（即跟随**和中台提供的x—y向运动）,再做旋转运动，构成了有3个自由度的复合运动。
这样就可以与砂轮的外形配合，加工出(理论上)任何曲线来。
该机床的控制系统也有不少值得称道的国内首创的技术突破。应该说，这是可以编入机械专业教科书的精彩内容(不知道现有的机床教科书有没有编进？)。
有了机床，就要编制出计算机控制程序，其前提是如何根据要加工的曲线（实际上是旋转体的母线）方程，确定三个工作台相互配合的运动。
这是适合于研究生数学建模竞赛的适当素材，本题就是围绕对这一素材，去除许多工程处理的细节，集中了数学建模及其求解提炼出来的。
二。d题命题的指导思想。
研究生数学建模竞赛是国内研究生中较为优秀的一部分学生的竞赛，在朱道元先生为代表的一批有识之士长期坚持和努力下，已经成为国内有重要影响的数学奥林匹克。既然是竞赛，就要比高低和好坏。但本命题人认为，各地和各校拿几个奖，不应是我们这项赛事的主要目标(虽然已经出现了有的学校以此为教学水平甚至领导政绩的标致的现象),我们的根本目标应是坚忍不拔地引导和影响国内高等数学教育走上正确健康之路，使一批研究生能打下灵活应用学到的数学理论和方法，解决较高难度的实际问题的基础。
d题命题的指导思想是：
1. 考核高等数学最基本的观念和最常用的方法。就d题而言，涉及到建立坐标系，向量运算，坐标变换，导数(曲线的切线),曲率，线性空间的基，动态系统的运动分析等等属于最基本的概念。
希望研究生们通过本题，认识到再前沿的科学研究，再复杂的工程技术，大部分都将分解或转化为最基本最基础的问题。
2. 考核学生在解决复杂问题的过程中，根据研究的进展，不断提炼或提出子问题的能力，或深化问题的研究能力。本题的目标是研究三个工作台相互配合的运动，是工程层面的问题，如何把它转化为一个平面运动的点的运动方程和轨迹方程，是第一层深化；如何运用坐标变换，实现逼近是第二层深化；为保证机床各个工作台运动平稳，则是第三层深化，等等。
在每次深化中，都可以提炼出相应的数学问题。对于本题，可以提出解析儿何的坐标变换模型，微分方程模型，甚至最优控制模型，而且各问题环环相扣，层层深化，数学的含量也逐步提高。提到什么层次的问题取决于你的研究的角度和深度，也取决于你的数学功底。
3。考核学生阅读能力和理解实际问题情景的能力。d题后面2/3的篇幅是介绍加工任务的由来，机床特点，砂轮等文字与图的内容。
希望学生能在头脑里显示机床的空间概念，理清众多数据之间的联系和区别，为建模做好准备。如果连起码的空间想象能力都缺乏，那么后面的工作就很难展开。如果面对一堆数据，弄不清联系与区别，你不知道先用哪个后调哪个，模型应怎么建立？
这常是影响学生解决实际问题的第一道障碍。这种能力的缺损是很大部分国内学生的通病，属于综合素养的问题，而不单单数学素养问题。
4. 考核学生从读题中抓住其中关键的信息能力。建立三个工作台的运动与被加工曲线之间的定量关系是求解本题的核心，而这样理解这个定量关系的基础是能否数学描述三个工作台构成的复合运动的方程，这也是建立误差理论的关键。
另外的关键信息是能否透过众多数据，分好类，弄清什么数据与什么数据有关。这个能力也非单单属于数学。
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