2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛a题。
摘要。2023年嫦娥三号成功发射，标志着我国航天事业上的又一个里程碑，针对嫦娥三号软着陆问题，分别建立着陆前轨道准备模型和软着陆轨道模型，建立动力学方程，以燃料最省为目标进行求解。
问题一：在软着陆前准备轨道上利用开普勒定律、能量守恒定律以及卫星轨道的相关知识，利用牛顿迭代法分别确定了近月点和远月点的速度分别为1.6925km/s、1.
6142km/s，位置分别为（19.91w，20.96n），（160.
49e,69.31s）。
问题二：在较为复杂的软着陆阶段，因为相对于月球的半径，嫦娥三号到月球的表面的距离太小，如果以月球中心建立坐标系会造成比较大的误差，因此选择在月球表面建立直角坐标系，在主减速阶段的类平抛面上建立相应的动力学模型，求出关键点的状态和并设计出相应的轨道，接下来通过利用灰度值阀值分割方法和螺旋搜索法对粗避障阶段和精避障阶段的地面地形进行相应的分析，找出安全点，然后调整嫦娥三号的方向以便安全降落，最后在落地时通过姿态发动机调整探测器的姿态，使之可以平稳的落到安全点上，在以上的各个阶段都可以以燃料最省为最优指标，从而建立非线性的最优规划的动力学模型，并基于该动力学模型可以对各个阶段的制导率进行优化设计由此就可以得到各个阶段的最优控制策略，问题三：
最后针对所设计的轨道和各个阶段的控制策略进行了误差分析和灵敏度分析。对系统误差和偶然误差都做了解释；通过灵敏度分析发现，嫦娥三号在近月点的位置对结果的影响最大。
关键字牛顿迭代法 ，灰度值阀值分割，螺旋搜索法，灵敏度分析。
一、问题重述。
嫦娥三号于2023年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500n到7500n的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51w，44.
12n，海拔为-2641m。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：
1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应的速度大小和方向。
2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
3）对于所设计设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
二、问题分析。
对于问题一，本文通过查找资料，发现嫦娥三号的运行轨道正好符合开普勒定律第一定律，其次根据开普勒第二定律和能量守恒定律，我们可以得出位于近月点以及远月点的速度大小以及方向，然后利用卫星轨道的相关知识，以月球赤道为平面建立空间直角坐标系，根据嫦娥三号的绕行轨道和赤道平面的的夹角计算出近月点和远月点的位置。
对于问题二，本文分为六段建立模型考虑问题，因为嫦娥三号距离月球地面的位置相对月球半径来说太小，所以我们在月球表面建立直角坐标系，根据的要求要在主减速阶段要求到达预订着陆点上方，利用抛物线相关知识建立精确动力学模型，用最优化方法求出结果，得到相应的再该阶段的控制策略。其次在粗避障和精避障阶段，利用距离地面2400米和100米的高程图，使用图像灰度值阀值分割方法和螺旋搜索法，将图中的不同高度的地面进行分割，分两次缩小安全点的位置，然后再最后下落过程中启动小型姿态发动机来进行水平调以便整最终安全着陆。
针对问题三我们从多个方面出发回归整个建模过程，对一些误差进行了分析，得到了减少误差的方法。
三、基本假设。
1. 假设忽略月球的自传。
2. 假设嫦娥三号飞行器的降落轨道和其绕月运行轨道在同一平面内。
3. 假设在每阶段推力的大小不变。
4. 假设忽略其他星球对嫦娥三号的引力作用。
四、模型准备。
开普勒定律是指行星在宇宙空间绕太阳公转所遵循的定律。
开普勒第一定律，也称椭圆定律；也称轨道定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。
开普勒第二定律，也称面积定律：在相等时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面积都是相等的。 这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。
开普勒第三定律，也称调和定律，也称周期定律：是指绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。这里，a是行星公转轨道半长轴，t是行星公转周期，k是常数，其大小只与中心天体的质量有关。
常用于椭圆轨道的计算。即：
其中，，为中心天体的质量。
五、符号说明。
符号说明。椭圆轨道长半轴。
椭圆轨道短半轴。
焦点。嫦娥三号在远月点a时的速度。
嫦娥三号在近月点b时的速度。
宇宙常量约为。
月球质量。椭圆轨道周期。
平均角速度。
平均近点角。
偏心近点角。
真近点角。轨道倾角。
月球自传角速度。
零时刻的升交点经度。
t)t时刻经度。
t)t时刻纬度。
着陆轨道近月点推力。
推力水平分力。
推力竖直分力。
推力f在水平方向的加速度。
推力f在竖直方向的加速度。
月球重力加速度1.633m/s^2
比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s
嫦娥三号的质量2400kg
主减速段所用时间。
主减速开始点既近月点速度。
主减速段结束速度57m/s
主减速段结束速度方向。
主减速段高度。
快速调整段推力。
推力水平分力。
推力竖直分力。
推力在水平方向的加速度。
推力在竖直方向的加速度。
快速调整段高度。
六、模型的建立与分析。
1、问题一：近月点和远月点的速度大小、方向以及位置表示。
近月点a和远月点，b距月球的距离分别为，,在极短的时间内嫦娥三号与月球连线扫过的面积分别为。
根据开普勒第二定律；嫦娥三号与月球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，故有带入得。其次嫦娥三号运动的总机械能等于其动能和引力势能之和，故嫦娥三号分别经过a,b两点时的机械能为。
由于行星在运动过程中受万有引力作用，机械能守恒，故由以上公式得出。
对模型进行求解，带入已知条件，得。
利用matlab求解得。
1.6925km/s
=1.6142km/s
方向分别沿近月点和远月点切线的方向，沿逆时针方向。
如图（1）所示，建立空间直角坐标系oxyz，以月球为中心，赤道平面为xoy面，根据卫星空间定位可近似计算出远月点和近月点的经纬度，图1 坐标系中椭圆轨道。
t为嫦娥三号从远月点开始出发的时间。
椭圆运动周期为。
平均角速度。
其中卫星在通过近月点，并以平均角速度n绕椭圆轨道移动平均近点角。
由开普勒方程。
以及高斯方程。
可用newton迭代法可得出偏心近点角e，从而利用高斯方程得到真近点角。
进而得到经纬度公式。
纬度公式。从而利用matlab可以计算出近月点与远月点的经纬度值分别为：
近月点（19.91w，20.96n）
远地点（160.49e,69.31s）
2、问题二：嫦娥三号的着陆轨道和六个阶段的最优控制策略。
主减速阶段：主减速段的区间是距离月面15km到3km。该阶段的主要是减速，实现到距离月面3公里处嫦娥三号的速度降到57m/s。
图（a）主减速阶段轨迹。
对竖直方向加速度进行两次积分得到高度变量。
根据此公式用表示出第一阶段总用时，最优化方程组。
目标函数：
约束条件。由以上方程式求解可得。
由此可以看出时间越短使用燃料越少，则当最小时，燃料最优，即此时。
可求出出及，
在t时刻位置方程为。
快速调整阶段：快速调整段的主要是调整探测器姿态，需要从距离月面3km到 2.4km处将水平速度减为0m/s，即使主减速发动机的推力竖直向下，之后进入粗避障阶段。
目标函数。约束条件。
在该阶段末端水平速度为0，为使燃料最省，应不受推力作用。
由此可知。此时位置方程为。
粗避障阶段：该阶段嫦娥三号在距离月面2.4km处对正下方月面2300×2300m的范围进行拍照测得到数据，然后利用matlab对预定着陆区地形进行着陆**分析得到的结果如图（1）所示，然后利用灰度阀值分割法搜索最适合的着陆区。
图（1）距月面2400米处**图。
灰度阀值分割法是一种简单有效的图像分割方法，它用一个或几个阈值将图像的灰度级分为几个部分认为属于同一个部分的像素是同一个物体，设axy,bxy分别为指定的灰度值或原灰度值。如果取axy=1,bxy=0，则分割后的图像为二值图像。目标与背景具有最大的对比度。
如果取axy=f(x,y),bxy=0,则分割后的图像背景为0，目标保留原灰度，属于背景干净的目标图像。本题基于题目所给的高程图，将阀值设为1和0，将平坦和坡度大的地形分隔开，得到如图（2）所示的结果。
图（2）距月面2400米处阀值分割处理图。
此时嫦娥三号在月面的垂直投影位于预定着陆区域的中心位置，投影的中心下方为预定着陆点，以此为中心，设此点的坐标为，建立直角坐标系，根据图形找到相对平坦点，距原点的水平距离为。
在该阶段物体先做匀加速。
水平方向先向正向匀加速，再以相同加速度进行匀减速可得。
竖直方向匀加速运动。
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