2023年全国大学生数学建模竞赛题

发布 2022-02-22 15:01:28 阅读 2570

2001高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目。

请先阅读“对**格式的统一要求”)

c题**使用计划。

某校**会有一笔数额为m元的**,打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次,发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。

校**会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生,要求每年的奖金额大致相同,且在n年末仍保留原**数额。校**会希望获得最佳的**使用计划,以提高每年的奖金额。请你帮助校**会在如下情况下设计**使用方案,并对m=5000万元,n=10年给出具体结果:

1. 只存款不购国库券;

2. 可存款也可购国库券。

3.学校在**到位后的第3年要举行百年校庆,**会希望这一年的奖金比其它年度多20%。

摘要:运用**m分成n份(m1,m2,…,mn),m1存一年,m2存2年,…,mn存n年.这样,对前面的(n-1)年,第i年终时m1到期,将mi及其利息均取出来作为当年的奖金发放;而第n年,则用除去m元所剩下的钱作为第n年的奖金发放的基本思想,解决了**的最佳使用方案问题.

关键词:超限归纳法;排除定理;仓恩定理

1问题重述。

某校**会有一笔数额为m元的**,欲将其存入银行或购买国库券.当前银行存款及各期国库券的利率见表1.假设国库券每年至少发行一次,发行时间不定.取款政策参考银行的现行政策.

表1 存款年利率表。

校**会计在n年内每年用部分本息奖励优秀师生,要求每年的奖金额大致相同,且在n年末仍保留原**数额.校**会希望获得最佳的**使用计划,以提高每年的奖金额.需帮助校**会在如下情况下设计**使用方案,并对m=5 000万元,n=10年给出具体结果:

只存款不购国库券;

可存款也可购国库券.

学校在**到位后的第3年要举行百年校庆,**会希望这一年的奖金比其它年度多20%.

2模型的分析、假设与建立。

2.1 模型假设。

每年发放的奖金额相同;

取款按现行银行政策;

不考虑通货膨胀及国家政策对利息结算的影响;

**在年初到位,学校当年奖金在下一年年初发放;

国库券若提前支取,则按满年限的同期银行利率结算,且需交纳一定数额的手续费;

到期国库券**资金不能用于购买当年发行的国库券.

2.2 符号约定。

k——发放的奖金数;

ri——存i年的年利率,(i=1/2,1,2,3,5);

mi——支付第i年奖金,第1年开始所存的数额(i=1,2,…,10);

u——半年活期的年利率;

2.3 模型的建立和求解。

2.3.1 情况一:只存款不购国库券(1)分析。

令:支付各年奖金和本金存款方案———mij(i=1,…,10,i;j属于n).

将各方案看成元素,构成集合a

则属于a所以a按i取值分10行。

根据仓恩定理:分行集中,任何一单行有上界,则必包含一个极大元素。

又因为a中每行可以看成一个子集,根据排队定理:一个集一定可以依一个次序排除。

所以a中必有上界。

m万元**存入银行后,每年又拿出相同数额的本息奖励优秀师生,因为最后剩余的金额等于原来的本金,所以用这种发放的奖金总数可以看作是n年中各种利息的总和.将**m分成n份(m1,m2,…,mn),m1存1年,m2存2年,…,mn存n年,对前面的(n-1)年,第i年的次年年初mi到期,将mi及其利息均取出来作为当年的奖金发放;而第10年,则用除去m元后所剩下的钱作为第n年的奖金发放.

一般的模型:

这就是利息表达式)

关键在于如何计算每一个ri.

**在年初到位,而学校当年的奖学金一般在次年年初发放.因此,选择存活期或不可能使得到的利息最大.要尽可能提高奖金额,应选择存定期.在定期的选择上,应把尽可能多的钱存到定期长的储种上去;同时由于储种有限(只有半年年定期),这就需要对某些储种进行组合优化.即应尽可能地利用年份多的储种(如能用3年的决不用2年定期),对于m1,为了支付第一年的奖金,显然是存1年期拿到本金和利息最高,余者显然亦如此.对于特定年份的定期存款采用现有的储蓄种类的组合(如4年定期采用3年定期和1年定期组合等),要使所得的利息最大,对于该结论的说明如下所述.

存4年定期时的有2种方案:

n为任意存款),显然,3年定期和一年定期组合最优.同理,通过计算各种组合,mi得最大利息的存储方案如表2(q1、q2、q3、q5分别表示定期存的年数).

表2存储方案。

1)从表中可以得出以下结论:

这是一个以5年为周期的方案组合,从第6年开始相当于对应的年份再加上一个5年定期,所得的存储方案最为合理.

采用超限归纳法的推论,可将模型论推广到n年,则可得到如下的结论.对于一个以m年为周期的方案组合,可以从第m+1年开始,在相应的年份上再加上一个m年定期,此时所得的方案最为合理.

2)每1个mi经过i年后得到的本金和利息,可用于支付奖金,下面可用反证法加以证明.

证明:假设有另外一种方案使k1>k,则显然存在某个n年期的存款到期后所得的总额r,可满足r-k1>0(因为在我们的计算方式下,r=k,即刚好用完).则需要将r-k1转存入下一个存款.而按照前面我们得出的结论,要使所得的利息最大,则应尽可能地利用年份多的储种.

可推断,由此所得的利息要比一开始就将r-k1存一个更长时间的定期要少.与假设相矛盾.所以上述方式使得每年获得的奖金额度最大.

3)求解:根据以上的讨论,可以建立以下的方程组:

其中ri是i年期的存储的一个增长系数。

由matlab编程的线性优化函数lp(linear program-ming),可得k=109.800 0(万元)

这样,我们就可以通过把分成这10份,前9份刚好付当年的奖金,第10份刚好满足奖金和原有的**,并得到了最优化的解(见表3).

2.3.2 情况二:可存款也可购国库券。

我们对情形二外加了一个购买国库券的方式.同样把m分成m1,m2,…,mn;存n年;且n年终将本金和利息一起取出来作为奖金发放,在外加购买国库券后,对mn达到最大本金和利息有更多的组合及考虑因素.

因为国库券发行时间任意,且银行结算与发放奖金均在年终,因此得到购券**并不能马上购券,需先存银行,国库券到期也不能马上作为奖金发掉,也需存银行.

因经购买一次国库券,必定耽误一年的时间使它不能存整年定期,而只能存活期和半年的定期,由于半年定期的利率明显高于活期,又不影响对奖金的发放,所以这一年一定存1个半年定期和半年的活期。由于国库券发行时间不定,一年中任何一天发行都是可能,这就涉及到数学期望的问题。可以把一年的分为360天,如果国库券发行在上半年的第n天,则n天到期后的本金和利息为(0.

792%×n>180),这笔钱要分半年定期和活期是最优化的。 先不考虑定期半年的本利率,那么(180-n)天的活期的本金和利息是。

0.792%×(180-n)/360+1]m

那么这笔钱有半年里的本金和利息为。

0.792%×(180-n)/360+1]×

u=0.00396

由上节(2)已证了mi经过i年的本金和利率,刚好放奖金时最优,现在讨论mi在i年中存银行或购买国库券,或两者都有,以不同组合的所得到的利息的高低来取最优的组合。我们对每年mi的组合都进行分析(见表4),对于m1,m2不能考虑国库券,两年内尚不可支取用于支付奖金。对于m3根据情形可得出要使所得的利息最大,则应尽可能地利用年份多的储种这样一个结论。

从表4可知,最优的方案如表达所示。

根据以上的讨论,可以建立以下的方程组:

ro/2)(1+u)=k

与上题同法,用线优化函数(lp)就解得:

k=127.5(万元)

按照表6所述的对mi各组达到最优化分配,并保证了所发放的奖金k达到最优值.

2.3.3 学校**到位后的第三年的奖金比其他年度多20%

要使得**到位后第3年的奖金比其他年度多20%,问题3与问题1和问题2的情形类同.可分为只存银行与既存银行又买国库券两种情形.将情形一的(3)式改成。

其余保持不变.

得最优解,k=107.53(万元)

其本金收益计算于见表7.

将情形二的(3)式改成m3×(1+r3)=1.2×k;其余保持不变.

得最优解:k=124.8(万元)

其本金收益见表8.

3 模型的分析和改进。

情形一,我们利用超限归纳法及其推论,对结论2给出了一个完整的说明,从而对下述定理的证明及推广也起了很大的作用,该方法使得数学模型大为简化.但情形一中,我们所考虑的是大大简化了的模型,要考虑各方面因素,不会影响该模型,我们只需对原方程中加入一些参数,思路不变.

例如:不假设学校一年发两次奖金.对于该题,我们需要考虑存半年期的情况,这也就是与前面最大的不同之处.

情形二,前面用有限枚举法,通过与情况一的比较确定更优值,其思想方法简单易行,但计算太复杂.可以利用集论中的仓恩定理对该模型求出一个上限或下限.上限,即国库券随时可购,可用情况一的求解方法,直接求解,然后由仓恩定理可得出必定存在极大元素,再对各种可能的情况进行分析,计算,从中选出极大值,这就是我们所要求的最优方案.下限,就是考虑到想买买不到的情况.

如存9年期的m9,假如第一年国库券发行时间是9月份,买了一个5年期的.那就是到第5年的9月份才能取出来,但第5年的国库券发行时间可能在9月份之前,也就是只有到下一个才能买到.这就有一个最坏的情况,可以求出问题的一个下限.

同时我们也要考虑到求每个mi的增长率时,不能单独考虑.

如:对于存9年期的m9如果考虑对m6买一个五年期的国库券时把发行时间定在第一个季度,那么对m9先买5年期的国库券也要在第一个季度.

4 结语。这一思想的理论基础是《序数》中所用的“排队定理”和“仓恩定量”.

对第一问,通过计算我们得到最优的将**的本金(加上去)作为奖金发放,同时我们用超限归纳法及其推论,可以证明这样的方案是最优的.而且,对于实际操作,我们给出了一个以5年为周期的规律,便于推广.对于第二问,推广了前面一种情形的思路,增加了购买国库券,其实质就是对这mi经过i年存款和购买国库券得到的本金和利息最高.对于第三问,我们分只存款不购买国库券和购买国库券两种情况分别给出了结果.

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