数学建模题

试题一：某大学年青教师小李要从31岁开始建立自己的养老**，他把已有的积蓄一万元也一次性地存入，已知月利率为0.01，每月存入300元。

试问；当小李60岁时，他的退休金有多少？又若，他退休后每月要从银行提取1000元，他的退休**多少年后将用完？

解：问题的分析。

这是一个关于养老**的问题，通过结本金，利率，月存入金的改变，来达到保障老年生活问题，是一个纯数字的问题，对现实生活合理安排资金，保障生活安定有较强的现实意义！

问题的假设。

1．）假设银行的利率保持不变，不考虑资金的时间价值和通货膨胀问题。

2．）有稳定的资金**，保证月金的注入。

3．）投资者能达到预期的寿命。

4．）假设300元钱是瞬间存入，而依复利增长的钱是连续增长的。

模型建立。用n表示第n个月，用表示的n个月后他的退学金，用r表示月利率，用x表示每月存入的钱。本问题的数学建模可建立如下：

只要把，……的表达式代入得：

利用等比级数求和公式得：

当小李从31岁到60岁共29年，计29*12=348个月。

经过348个月会有多少钱，就是：令n=348，r=0.01，x=300，设：他退休后每月从银行取出y，他的退休m年后还剩退休金。

同理：把，……代入可得：

利用等比数列求和公式得：

当r=0.01， <0，y=1000代入得：

解得：m为负数，即说明无论怎样他用多少年都将用不完。

试题二：椅子问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明椅子能否在地面上放稳的问题．

解：问题分析。

所谓椅子可否在地面上放稳，可视为其四个椅子可否同时着地，从而可将问题归结为椅子脚与地面的距离是否同时为零，故构造这个距离函数是建模的关键，而证明四个距离函数同时为零这个命题是建模的最终目的．

模型假设。(1) 四条椅子腿同长，视四个椅子脚为四个几何点，四脚的连线呈长方形；

(2) 地面的高度是连续变化的，即将地面看作数学上的连续曲面；

(3) 地面是相对平坦的，在任何位置，至少有三个椅子腿同时着地．

模型建立。如图，以长方形的两条对角线的交点为原点建立平面。

直角坐标系，且不妨设a，c两椅子脚开始时位于横轴上，则。

问题与旋转角度有关．注意到假设3，设a，b两个椅子脚。

与地面距离之和为，另外两个椅子脚与地面距离之

和为则与中至少有一个为零，当图。

时不妨假设．又由假设2，以上两个函数均为旋转角度的连续函数，于是有命题：

已知则，使得。

上述命题即为所建立的数学模型．

模型求解。将椅子旋转，则a、b两点与d、c两点恰好交换位置．由假设便有， 又由前述假设，

令则有由于的连续性知也是连续函数．依据连续函数的基本性质（零点定理），必至少存在一个角度，使得，即又根据成立，故有。

因此：将椅子最多旋转必定四脚着地。

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