1.3.1.2 函数的最值。
一、选择题。
1．函数f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值分别为( )
a．10，6b．10，8
c．8，6d．以上都不对。
答案] a解析] 分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小值中的最小者．
当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8.
f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.
故选a.2．函数y＝x|x|的图象大致是( )
答案] a解析] y＝，故选a.
3．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l1＝－x2＋21x和l2＝2x(其中销售量x单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
a．90万元b．60万元。
c．120万元d．120.25万元。
答案] c解析] 设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，公司获得利润。
l＝－x2＋21x＋2(15－x)
－x2＋19x＋30.
当x＝9或10时，l最大为120万元．
故选c.点评] 列函数关系式时，不要出现y＝－x2＋21x＋2x的错误．
4．已知f(x)在r上是增函数，对实数a、b若a＋b＞0，则有( )
a．f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)
b．f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)
c．f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)
d．f(a)－f(b)＜f(－a)＋f(－b)
答案] a解析] ∵a＋b＞0 ∴a＞－b且b＞－a，又y＝f(x)是增函数
f(a)＞f(－b) 且f(b)＞f(－a)故选a.
5．(河南郑州市智林学校2009～2010高一期末)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
a．(－1,0)∪(0,1b．(－1,0)∪(0,1]
c．(0,1d．(0,1]
答案] d解析] ∵f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1,2]上是减函数，∴a≤1，又∵g(x)＝在[1,2]上是减函数，a>0，∴06．函数y＝(x≠2)的值域是( )
a．[2b．(－2]
c．答案] d
解析] y＝＝＝3＋，由于≠0，∴y≠3，故选d.
7．函数y＝f(x)的图象关于原点对称且函数y＝f(x)在区间[3,7]上是增函数，最小值为5，那么函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上( )
a．为增函数，且最小值为－5
b．为增函数，且最大值为－5
c．为减函数，且最小值为－5
d．为减函数，且最大值为－5
答案] b解析] 由题意画出示意图，如下图，可以发现函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上仍是增函数，且最大值为－5.
8．函数y＝|x－3|－|x＋1|有( )
a．最大值4，最小值0
b．最大值0，最小值－4
c．最大值4，最小值－4
d．最大值、最小值都不存在。
答案] c解析] y＝|x－3|－|x＋1|，因此y∈[－4,4]，故选c.
9．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则( )
a．f(－1)b．f(1)c．f(2)d．f(1)[答案] b
解析] 因为二次函数图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．
又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，知f(x)在区间[1，＋∞上为增函数，故f(1)10．(08·重庆理)已知函数y＝＋的最大值为m，最小值为m，则的值为。
ab. cd.
答案] c解析] ∵y≥0，∴y＝＋
(－3≤x≤1)，当x＝－3或1时，ymin＝2，当x＝－1时，ymax＝2，即m＝2，m＝2，∴＝
二、填空题。
11．函数y＝－x2－10x＋11在区间[－1,2]上的最小值是___
答案] －13
解析] 函数y＝－x2－10x＋11＝－(x＋5)2＋36在[－1,2]上为减函数，当x＝2时，ymin＝－13.
12．已知函数f(x)在r上单调递增，经过a(0，－1)和b(3,1)两点，那么使不等式|f(x＋1)|<1成立的x的集合为___
答案] {x|－1[解析] 由|f(x＋1)|<1得－1∴0∴使不等式成立的x的集合为{x|－113．如果函数f(x)＝－x2＋2x的定义域为[m，n]，值域为[－3,1]，则|m－n|的最小值为___
答案] 2解析] ∵f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当m≤x≤n时，－3≤y≤1，∴1∈[m，n]，又令－x2＋2x＝－3得，x＝－1或x＝3，－1∈[m，n]或3∈[m，n]，要使|m－n|最小，应取[m，n]为[－1,1]或[1,3]，此时|m－n|＝2.
三、解答题。
14．求函数f(x)＝－x2＋|x|的单调区间．并求函数y＝f(x)在[－1,2]上的最大、小值．
解析] 由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值．
∵f(x)＝－x2＋|x|＝
即f(x)＝
作出其在[－1,2]上的图象如右图所示。
由图象可知，f(x)的递增区间为(－∞和[0，]，递减区间为[－，0]和[，＋
由图象知：当x＝－或时，f(x)max＝，当x＝2时，f(x)min＝－2.
15．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：r(x)＝其中x是仪器的月产量．
1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
解析] (1)设月产量为x台，则总成本为u(x)＝20000＋100x，从而f(x)＝r(x)－u(x)，即f(x)＝
2)当0≤x≤400时，f(x)＝－x－300)2＋25000，当x＝300时，有最大值25 000；当x＞400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)＜60000－100×400＝20 000.∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000.
答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．
16．已知函数f(x)＝(x∈[2，＋∞1)证明函数f(x)为增函数．
2)求f(x)的最小值．
解析] 将函数式化为：f(x)＝x＋＋2
任取x1，x2∈[2，＋∞且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－)．
x1＜x2， ∴x1－x2＜0，又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4,1－＞0.
f(x1)－f(x2)＜0，即：f(x1)＜f(x2)．
故f(x)在[2，＋∞上是增函数．
当x＝2时，f(x)有最小值。
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