一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）
1. 已知函数y=（k-1）x2-4x+4与x轴只有一个交点，则k的取值范围是（ ）
a. k≤2且k≠1 b. k＜2且k≠1 c. k=2 d. k=2或1
答案】d解析】解：当k-1=0，即k=1时，函数为y=-4x+4，与x轴只有一个交点；
当k-1≠0，即k≠1时，令y=0可得（k-1）x2-4x+4=0，由函数与x轴只有一个交点可知该方程有两个相等的实数根，△=0，即（-4）2-4（k-1）×4=0，解得k=2，综上可知k的值为1或2，故选：d．
当k+1=0时，函数为一次函数必与x轴有一个交点；当k+1≠0时，令y=0可得到关于x的一元二次方程，根据条件可知其判别式为0，可求得k的值．
本题主要考查函数与x轴的交点，掌握二次函数与x轴只有一个交点的条件是解题的关键，注意分类讨论．
2. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点a在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：；当时，y随x增大而减小；；若方程没有实数根，则；其中正确结论的个数是
a. 2个 b. 3个 c. 4个 d. 5个。
答案】c解析】【分析】
本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．
解答】解：∵二次函数与x轴有两个交点，b2-4ac＞0，故①错误，观察图象可知：当x＞-1时，y随x增大而减小，故②正确，抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，x=1时，y=a+b+c＜0，故③正确，当m＞2时，抛物线与直线y=m没有交点，方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，故④正确，对称轴，b=2a，a+b+c＜0，3a+c＜0，故⑤正确，故选c．
3. 如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
a-b+c＞0；
3a+b=0；
b2=4a（c-n）；
一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个互异实根．
其中正确结论的个数是（ ）
a. 1个 b. 2个 c. 3个 d. 4个。
答案】c解析】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
当x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，所以①正确；
抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，3a+b=3a-2a=a，所以②错误；
抛物线的顶点坐标为（1，n），=n，b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确；
抛物线与直线y=n有一个公共点，抛物线与直线y=n-1有2个公共点，一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：c．利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4. 若抛物线y=x2-2x+m与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
a. m＞1 b. m≥1 c. m＜1 d. m≤1
答案】d解析】解：根据题意得△=（2）2-4m≥0，解得m≤1．
故选d．根据判别式的意义得到△=（2）2-4m≥0，然后解不等式即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
5. 如图，在△abc中，∠b=90°，点p从点a开始，沿ab向点b以1cm/s的速度移动，点q从b点开始沿bc以2cm/s的速度移动，如果p、q分别从a、b同时出发：
1）几秒后四边形apqc的面积是31平方厘米；
2）若用s表示四边形apqc的面积，在经过多长时间s取得最小值？并求出最小值．
答案】解：（1）设经过x秒钟，可使得四边形apqc的面积是31平方厘米，根据题意得：bpbq=abbc-31，即（6-x）2x=×6×12-31，整理得（x -1）（x-5）=0，解得：
x1=1，x2=5．
答：经过1或5秒钟，可使得四边形apqc的面积是31平方厘米；
2）依题意得，s四边形apqc=s△abc-s△bpq，即s=abbc-bpbq=×6×12-（6-x）2x=（x-3）2+27（0＜x＜6），当x-3=0，即x=3时，s最小=27．
答：经过3秒时，s取得最小值27平方厘米．
解析】（1）设经过x秒钟，可使得四边形apqc的面积是31平方厘米，根据面积为31列出方程，求出方程的解即可得到结果；
2）根据题意列出s关于x的函数关系式，利用函数的性质来求最值．
此题考查了一元二次方程的应用、二次函数的性质，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
三、解答题（本大题共4小题，共32.0分）
6. 一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
1）求y与x之间的函数关系式；
2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
答案】解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm，解得：0＜x＜8，y=20×x+2×12x-2×xx=-3x2+54x，即y与x之间的函数关系式为y=-3x2+54x（0＜x＜8）；
2）根据题意，得：-3x2+54x=×20×12，整理，得：x2-18x+32=0，解得：x1=2，x2=16（舍），x=3，答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
解析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为xcm，根据：三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积-横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式；
2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解可得．
本题主要考查根据实际问题列函数关系式及一元二次方程的实际应用能力，数形结合根据“三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积-横竖彩条重叠矩形的面积”列出函数关系式是解题的关键．
7. △abc是一块锐角三角形材料，边bc=120cm，高ad=80cm，要把它加工成矩形零件efgh，使矩形的一边gh在bc上，其余两个顶点e、f在ab，ac上，1）求证：ef：
bc=am：ad；
2）设ef=x，eg=y，用含x的代数式表示y；
3）设矩形efgh的面积是s，求当x为何值时s的最大值．
答案】（1）证明：∵四边形efhg是矩形，ef∥bc，△aef∽△abc，=；
2）解：设ef=x，eg=y，故=，解得：y=-x+80．
3）s矩形efhg=egef=（-x+80）x．
即s=-x2+80x．
当x=-=60时，矩形eghf的面积最大．
解析】（1）根据ef∥bc，得出△aef∽△abc，进而得出ef：bc=am：ad；
2）设ef=x，eg=y，利用相似三角形的性质用x表示出y即可；
3）根据矩形面积公式求出s与x之间的解析式，运用公式求抛物线顶点的横坐标即可．
本题主要考查了相似三角形的应用、矩形eghf的面积的表达，把问题转化为二次函数，利用二次函数的性质是解决问题关键．
8. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
1）求y与x之间的函数表达式；
2）设商品每天的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）；
3）试说明（2）中总利润w随售价x的变化而变化的情况，并指**价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
答案】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），得，即y与x之间的函数表达式是y=-2x+200；
2）由题意可得，w=（x-40）（-2x+200）=-2x2+280x-8000，即w与x之间的函数表达式是w=-2x2+280x-8000；
3）∵w=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，40≤x≤80，当40≤x≤70时，w随x的增大而增大，当70≤x≤80时，w随x的增大而减小，当x=70时，w取得最大值，此时w=1800，答：当40≤x≤70时，w随x的增大而增大，当70≤x≤80时，w随x的增大而减小，售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．
解析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据**中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；
2）根据题意可以写出w与x之间的函数表达式；
3）根据（2）中的函数解析式，将其化为顶点式，然后根据成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，即可得到利润w随售价x的变化而变化的情况，以及售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．
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