1.2.3 函数的表示方法。
a．基础知识检验。
一、选择题。
1．集合a＝，b＝则从a到b可以建立不同的映射个数为( )
a．5b．6c．8d．9
答案] c解析] 用树状图写出所有的映射为：
a→d a→e共8个．
2．已知f(x)＝则f(f(f(－4)))
a．－4b．4c．3d．－3
答案] b解析] f(－4)＝(4)＋4＝0，∴f(f(－4))＝f(0)＝1，f(f(f(－4)))f(1)＝12＋3＝4.故选b.
3．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋m的图象与x轴有交点，则实数m的范围是( )
a．m＞－1b．m＞1c．m≥－1d．m≥1
答案] c解析] f(x)＝－x2＋2x＋m的图象与x轴有交点，即方程－x2＋2x＋m＝0有实根，∴δ0即4＋4m≥0，∴m≥－1，故选c.
4．下列从p到q的各对应关系f中，不是映射的是( )
a．p＝n，q＝n*，f：x→|x－8|
b．p＝，q＝，f：x→x(x－4)
c．p＝n*，q＝，f：x→(－1)x
d．p＝z，q＝，f：x→x2
答案] a解析] 对于选项a，当x＝8时，|x－8|＝0n*，∴不是映射，故选a.
5．给出下列四个命题：
1)若a＝，b＝，则一定不能建立从集合a到集合b的映射；
2)若a是无限集，b是有限集，则一定不能建立从集合a到集合b的映射；
3)若a＝，b＝，则从集合a到集合b只能建立一个映射；
4)若a＝，b＝，则从集合a到集合b只能建立一个映射．
其中正确命题的个数是( )
a．0个b．1个 c．2个d．3个。
答案] b解析] 对于(1)f：a→b对应法则f：x→2|x|＋1故(1)错；(2)f：
r→，对应法则f：x→1，(2)错；(3)可以建立两个映射，(3)错；(4)正确，故选b.
6．(广东梅县东山中学2009～2010高一期末)已知函数f(x)＝，若f[f(x)]＝2，则x的取值范围是( )
a．b．[－1,1]
c．(－1)∪(1，＋∞
d．∪[1,1]
答案] d解析] 首先当x＝2时，f(2)＝2，∴f[f(2)]＝2，其次当x∈[－1,1]时，f(x)＝2，f[f(x)]＝2.
7．已知函数f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(0)＝0，则f(4)的值是( )
a．5b．－5 c．12d．20
答案] c解析] 由f(1)＝f(0)＝0得到：1＋p＋q＝0①，q＝0②，由①和②联立解得p＝－1，q＝0.于是f(x)＝x2－x，则f(4)＝42－4＝12.
8．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该学生走法的是( )
答案] d解析] t＝0时，该学生到学校的距离为d0，排除a、c，随着跑步开始，此学生到学校距离迅速缩短，而转入步行后，此学生到学校距离继续缩短，但较跑步时缩的慢了。
9．某产品的总成本y(万元)与产量x之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量为( )
a．25台b．75台c．150台d．200台。
答案] c解析] 由题意得：y≤25x得3000＋20x－0.1x2≤25x，∴x2＋50x－30000≥0，解得：
x≥150或x≤－200，又0＜x＜240，∴150≤x＜240，最低产量为150台．
10．定义域为r的函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝2x＋1，则f(x)＝(
a．－2x＋1 b．2xc．2x－1d．－2x＋
答案] d解析] ∵f(x)＋2f(－x)＝2x＋1 (x∈r)，∴f(－x)＋2f(x)＝－2x＋1，消去f(－x)得，f(x)＝－2x＋.
二、填空题。
11．(2010·陕西文，13)已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a
答案] 2解析] 由题意得，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，a＝2.
12．已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ()16，φ(1)＝8，则φ(x)的表达式为___
答案] 3x＋
解析] 设f(x)＝kx (k≠0)，g(x)＝ m≠0)，则φ(x)＝kx＋，由题设。
解之得：，∴x)＝3x＋.
三、解答题。
13．在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克而不超过40克重付邮资160分．试写出x(0≤x≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(克)的函数关系，并求函数的定义域，然后作出函数的图象．
解析] y＝定义域为[0,40]，图象如下。
14．作出下列函数的图象．
1)f(x)＝2x，x∈z，且|x|≤2；
解析] (1)这个函数的定义域是集合，对应法则是“乘以2”，故它的图象由5个孤立的点(－2，－4)，(1，－2)，(0,0)，(1,2)，(2,4)组成，函数图象如图(1)所示．
2)这个函数分为两部分，当x∈(0，＋∞时，f(x)＝1，当x∈(－0]时，f(x)＝－1，函数图象如图(2)所示．
15．(1)一次函数的图象如图(1)，求其解析式．
2)设二次函数的图象如图(2)所示，求此函数的解析式．
解析] (1)设y＝kx＋b(k≠0)，由图知过(－1,0)和(0,2)点，，∴y＝2x＋2.
2)设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由图知过a(－3,0)、b(1，0)、c(0，－2)三点，，∴y＝x2＋x－2.
点评] 设y＝ax2＋bx＋c，由图知y＝0时，x＝－3或1，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两根－3和1，故可用根与系数关系求解，也可设ax2＋bx＋c＝a(x＋3)(x－1)．由过(0，－2)求出a，进而求出b、c.
16．设a＝b＝，f：(x，y)→(kx，y＋b)．是从集合a到集合b的映射，若b中元素(6,2)在映射f下对应a中元素(3,1)，求k，b的值．
解析] (3,1)对应元素为(3k,1＋b)，∴解得。
17．作出函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|的图象，并由图象求函数f(x)的值域．
解析] f(x)＝如图：由图象知函数f(x)值域为．
b．高考水平测试。
1．已知满足，则( )
a．5b．－5c．6d．－6．
2．设函数，则( )
abcd．18．
3．函数的最大值为( )
abcd．1．
4．设函数，，则f (x)的值域为( )
a．； b．； c．； d．．
5．设函数，若，则实数。
6．已知函数f (x)，g (x)分别由右表给出：
则。当时，实数。
7．给定，设函数：满足对任意的大于k的正整数n：．
1)设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值为。
2)设k＝4，且当n≤4时，2≤f (n)≤3，则不同的函数f的个数为。
8．对定义域分别为df，dg的函数y＝f (x)，y＝g (x)，规定：函数．
1)若函数f (x)＝－2x＋3，x≥1，g (x)＝x－2，x∈r，写出函数h (x)的解析式；
2)求问题(1)中函数h (x)的最大值．
9．讨论方程的实根个数．
10．如下图，等腰梯形abcd的两底ad＝2a，bc＝a，∠bad＝45°，作直线mn垂直ad，交ad与点m，交折线abcd与点n．设am＝x，试将梯形abcd位于直线mn左侧的面积y表示为x的函数．
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